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数学中的排列组合公式是怎样计算的?

更新时间:2026-08-19 17:31:53   栏目: 早教

排列组合是组合学最基本的概念。排列是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序；组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。以下是它们的计算公式及示例：

排列公式

排列公式用于计算从 nn 个不同元素中取出 mm（m≤nm\leq n）个元素进行排列的情况总数，记作 AnmA_{n}^m 或 PnmP_{n}^m ，计算公式为：

Anm=n!(n−m)!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×(n−m+1) A_{n}^m = \frac{n!}{(n - m)!}=n\times(n - 1)\times(n - 2)\times\cdots\times(n - m + 1)

其中 n!n! 表示 nn 的阶乘，即 n!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×2×1n!=n\times(n - 1)\times(n - 2)\times\cdots\times2\times1 。例如 5!=5×4×3×2×1=1205!=5×4×3×2×1 = 120 。

示例：从 5 个不同元素中取出 3 个元素进行排列，即 n=5n = 5，m=3m = 3 ，则排列数为：

A53=5!(5−3)!=5!2!=5×4×3×2×12×1=5×4×3=60\begin{align*} A_{5}^3&=\frac{5!}{(5 - 3)!}\\ &=\frac{5!}{2!}\\ &=\frac{5\times4\times3\times2\times1}{2\times1}\\ &=5\times4\times3\\ &=60 \end{align*}

组合公式

组合公式用于计算从 nn 个不同元素中取出 mm（m≤nm\leq n）个元素的组合数，记作 CnmC_{n}^m ，计算公式为：

Cnm=n!m!(n−m)!=Anmm!C_{n}^m=\frac{n!}{m!(n - m)!}=\frac{A_{n}^m}{m!}

示例：从 8 个不同元素中取出 5 个元素的组合数，即 n=8n = 8，m=5m = 5 ，则组合数为：

C85=8!5!(8−5)!=8!5!×3!=8×7×6×5×4×3×2×1(5×4×3×2×1)×(3×2×1)=8×7×63×2×1=56\begin{align*} C_{8}^5&=\frac{8!}{5!(8 - 5)!}\\ &=\frac{8!}{5!×3!}\\ &=\frac{8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1}{(5\times4\times3\times2\times1)\times(3\times2\times1)}\\ &=\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}\\ &=56 \end{align*}

另外，组合数还有一些性质，例如 Cnm=Cnn−mC_{n}^m = C_{n}^{n - m} ，即从 nn 个元素中选 mm 个元素的组合数等于从 nn 个元素中选 n−mn - m 个元素的组合数。在实际计算中，可以利用这些性质简化计算过程。

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