等比数列的求和公式是什么 - 早教 - 育儿知识大全

等比数列的求和公式是什么

更新时间:2026-08-19 16:32:42 栏目: 早教

等比数列的求和公式分为两种情况：

1. 当公比 $q = 1$ 时

等比数列 $\{ a_{n}\}$ 的首项为 $a_{1}$ ，其前 $n$ 项和 $S_{n}=na_{1}$ 。这是因为公比 $q = 1$ 时，等比数列的每一项都相等，都等于首项 $a_{1}$ ，那么前 $n$ 项的和就是 $n$ 个 $a_{1}$ 相加，即 $na_{1}$ 。

2. 当公比 $q\neq1$ 时

等比数列 $\{ a_{n}\}$ 的首项为 $a_{1}$ ，公比为 $q$ ，其前 $n$ 项和 $S_{n}=\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}$ ，也可以写成 $S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1 - q}$ （其中 $a_{n}$ 为该等比数列的第 $n$ 项， $a_{n}=a_{1}q^{n - 1}$ ）。推导过程如下：
设等比数列 $\{ a_{n}\}$ 的首项是 $a_{1}$ ，公比是 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{n}=a_{1}+a_{1}q + a_{1}q^{2}+\cdots + a_{1}q^{n - 1}$ ①；
等式两边同乘以 $q$ 可得： $qS_{n}=a_{1}q + a_{1}q^{2}+a_{1}q^{3}+\cdots + a_{1}q^{n}$ ②；
由① - ②得：

$\begin{align*} S_{n}-qS_{n}&=a_{1}+(a_{1}q - a_{1}q)+(a_{1}q^{2}-a_{1}q^{2})+\cdots+(a_{1}q^{n - 1}-a_{1}q^{n - 1}) - a_{1}q^{n}\\ (1 - q)S_{n}&=a_{1}-a_{1}q^{n}\\ S_{n}&=\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q} \end{align*}$

又因为 $a_{n}=a_{1}q^{n - 1}$ ，即 $a_{1}q^{n}=a_{n}q$ ，所以 $S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1 - q}$ 。

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