sin方x的导数是多少?蒙了 - 早教 - 育儿知识大全

sin方x的导数是多少?蒙了

更新时间:2026-08-19 15:27:04 栏目: 早教

方法一：利用复合函数求导法则

令 $u = \sin x$ ，那么 $y=\sin^{2}x = u^{2}$ 。

根据复合函数求导法则 $y^\prime = y^\prime_{u}\cdot u^\prime_{x}$ 。

先对 $y = u^{2}$ 关于 $u$ 求导，根据求导公式 $(x^{n})^\prime = nx^{n - 1}$ ，可得 $y^\prime_{u} = 2u$ 。

再对 $u=\sin x$ 关于 $x$ 求导， $u^\prime_{x}=(\sin x)^\prime=\cos x$ 。

把 $u = \sin x$ 代回 $y^\prime_{u}$ ，然后将 $y^\prime_{u}$ 与 $u^\prime_{x}$ 相乘，得到 $y^\prime = 2u\cdot\cos x = 2\sin x\cos x$ 。

根据二倍角公式 $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ ，所以 $(\sin^{2}x)^\prime=\sin 2x$ 。

方法二：利用乘积求导法则

因为 $\sin^{2}x=\sin x\cdot\sin x$ 。

根据乘积求导法则 $(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$ ，这里 $u = v=\sin x$ 。

那么 $(\sin^{2}x)^\prime = (\sin x\cdot\sin x)^\prime$ 。

由 $u^\prime = (\sin x)^\prime=\cos x$ ， $v^\prime = (\sin x)^\prime=\cos x$ 。

代入乘积求导公式可得 $(\sin^{2}x)^\prime=\cos x\cdot\sin x+\sin x\cdot\cos x = 2\sin x\cos x=\sin 2x$ 。

综上， $\sin^{2}x$ 的导数是 $\sin 2x$ 。

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