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垂径定理及其推论.

更新时间:2026-08-19 14:22:19   栏目: 早教

垂径定理及其推论是圆这一章节中的重要内容，具体如下：

垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

用数学语言表述为：如图，在⊙O 中，直径 CD⊥弦 AB 于点 E，则 AE = BE，AC⌢\overset{\frown}{AC} = BC⌢\overset{\frown}{BC}，AD⌢\overset{\frown}{AD} = BD⌢\overset{\frown}{BD} 。

垂径定理的推论

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧：在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦（AB 不是直径），若 AE = BE，则 CD⊥AB，AC⌢\overset{\frown}{AC} = BC⌢\overset{\frown}{BC}，AD⌢\overset{\frown}{AD} = BD⌢\overset{\frown}{BD} 。需要强调弦不是直径这个条件，因为任意两条直径都互相平分，但不一定垂直。

弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧：在⊙O 中，直线 l 是弦 AB 的垂直平分线，则直线 l 经过圆心 O，且 AC⌢\overset{\frown}{AC} = BC⌢\overset{\frown}{BC}，AD⌢\overset{\frown}{AD} = BD⌢\overset{\frown}{BD} 。

平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧：例如在⊙O 中，CD 是直径，若 AC⌢\overset{\frown}{AC} = BC⌢\overset{\frown}{BC} ，则 CD⊥AB，AE = BE ，AD⌢\overset{\frown}{AD} = BD⌢\overset{\frown}{BD} 。

垂径定理及其推论在解决与圆有关的计算（如求弦长、半径等）、证明线段相等、弧相等以及判断直线与圆的位置关系等问题中有着广泛应用。

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