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求根公式是什么

更新时间:2026-08-19 14:20:07   栏目: 早教

求根公式一般指一元二次方程 ax2+bx+c=0ax^{2}+bx + c = 0（a≠0a\neq0） 的求根公式，它是 x=−b±b2−4ac2ax=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

​​。

其中，aa是二次项系数，bb是一次项系数，cc是常数项。Δ=b2−4ac\Delta = b^{2} - 4ac 被称为判别式，它决定了一元二次方程根的情况：

当 Δ>0\Delta\gt0 时，方程有两个不相等的实数根；

当 Δ=0\Delta = 0 时，方程有两个相等的实数根；

当 Δ<0\Delta\lt0 时，方程没有实数根，但在复数范围内有两个共轭复数根。

这个求根公式是通过配方法推导出来的，具体推导过程如下：
对于一元二次方程 ax2+bx+c=0ax^{2}+bx + c = 0（a≠0a\neq0）

首先将方程两边同时除以 aa，得到 x2+bax+ca=0x^{2}+\frac{b}{a}x + \frac{c}{a}=0。

移项可得 x2+bax=−cax^{2}+\frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}。

配方，在等式两边加上一次项系数一半的平方，即 (b2a)2(\frac{b}{2a})^{2}，得到：
x2+bax+(b2a)2=(b2a)2−cax^{2}+\frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^{2}= (\frac{b}{2a})^{2}-\frac{c}{a}。

左边可以写成完全平方式 (x+b2a)2(x + \frac{b}{2a})^{2}，右边通分计算得 b24a2−ca=b2−4ac4a2\frac{b^{2}}{4a^{2}} - \frac{c}{a} = \frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}，即 (x+b2a)2=b2−4ac4a2(x + \frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}。

当 b2−4ac⩾0b^{2}-4ac\geqslant0 时，两边开平方可得 x+b2a=±b2−4ac2ax + \frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

​​。

最后移项就得到求根公式 x=−b±b2−4ac2ax=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

​​ 。

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