圆台的表面积公式 - 早教 - 育儿知识大全

圆台的表面积公式

更新时间:2026-08-19 13:19:43 栏目: 早教

设圆台的上底面半径为 $r$ ，下底面半径为 $R$ ，母线长为 $l$ ，圆台的表面积公式为 $S = \pi r^2 + \pi R^2 + \pi l (R + r)$ 。

其中 $\pi r^2$ 是上底面面积， $\pi R^2$ 是下底面面积， $\pi l (R + r)$ 是圆台的侧面积。

推导过程如下：

侧面积推导：

把圆台侧面展开，可以得到一个扇环。我们先将圆台补成一个圆锥，设小圆锥母线长为 $x$ ，大圆锥母线长为 $x + l$ 。

根据相似三角形性质可得 $\frac{r}{R} = \frac{x}{x + l}$ ，由此可解出 $x = \frac{rl}{R - r}$ 。

大圆锥侧面积 $S_{大侧}=\pi R(x + l)=\pi R(\frac{rl}{R - r}+l)=\frac{\pi RlR}{R - r}$ 。

小圆锥侧面积 $S_{小侧}=\pi r x=\pi r\times\frac{rl}{R - r}=\frac{\pi rlr}{R - r}$ 。

那么圆台侧面积 $S_{侧}=S_{大侧}-S_{小侧}=\frac{\pi RlR}{R - r}-\frac{\pi rlr}{R - r}=\pi l (R + r)$ 。

表面积公式得出：圆台表面积等于上底面面积、下底面面积与侧面积之和，即 $S = S_{上底}+S_{下底}+S_{侧}=\pi r^2 + \pi R^2 + \pi l (R + r)$ 。

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