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排列的计算公式和组合的计算公式是什么

更新时间:2026-08-19 11:09:22   栏目: 早教

排列和组合的计算公式如下：

排列公式

排列是指从 nn 个不同元素中取出 mm（m≤nm\leq n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 nn 个不同元素中取出 mm 个元素的一个排列。排列数用符号 AnmA_{n}^m （在旧教材中也用 PnmP_{n}^m 表示 ）表示，其计算公式为：

Anm=n!(n−m)!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×(n−m+1)A_{n}^m = \frac{n!}{(n - m)!}=n\times(n - 1)\times(n - 2)\times\cdots\times(n - m + 1)

例如 A53A_{5}^3，表示从 55 个不同元素中取出 33 个元素的排列数。根据公式可得：

A53=5!(5−3)!=5!2!=5×4×3×2×12×1=5×4×3=60A_{5}^3=\frac{5!}{(5 - 3)!}=\frac{5!}{2!}=\frac{5\times4\times3\times2\times1}{2\times1}=5\times4\times3 = 60

其中 n!n! 表示 nn 的阶乘，即 n!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×2×1n!=n\times(n - 1)\times(n - 2)\times\cdots\times2\times1，规定 0!=10!=1。

组合公式

组合是指从 nn 个不同元素中取出 mm（m≤nm\leq n）个元素组成一组，不考虑元素的顺序，叫做从 nn 个不同元素中取出 mm 个元素的一个组合 。组合数用符号 CnmC_{n}^m 表示，其计算公式为：

Cnm=n!m!(n−m)!=AnmAmmC_{n}^m=\frac{n!}{m!(n - m)!}=\frac{A_{n}^m}{A_{m}^m}

例如 C53C_{5}^3，表示从 55 个不同元素中取出 33 个元素的组合数。根据公式可得：

C53=5!3!(5−3)!=5!3!×2!=5×4×3!3!×2×1=5×42×1=10C_{5}^3=\frac{5!}{3!(5 - 3)!}=\frac{5!}{3!×2!}=\frac{5\times4\times3!}{3!\times2\times1}=\frac{5\times4}{2\times1}=10

组合数具有性质 Cnm=Cnn−mC_{n}^m = C_{n}^{n - m}，例如 C53=C52C_{5}^3 = C_{5}^2，通过计算 C52=5!2!(5−2)!=5×42×1=10C_{5}^2=\frac{5!}{2!(5 - 2)!}=\frac{5\times4}{2\times1}=10，可以验证这一性质。

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