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四次方和公式

更新时间:2026-08-19 10:09:17   栏目: 早教

四次方和公式是用于计算前 nn 个自然数的四次方的和，公式如下：

14+24+34+⋯+n4=n(n+1)(2n+1)(3n2+3n−1)301^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + n^4 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)(3n^2 + 3n - 1)}{30}

下面简单介绍推导过程（利用数学归纳法）：

基础步骤

当 n=1n = 1 时，左边 =14=1= 1^4 = 1，右边 =1×(1+1)×(2×1+1)×(3×12+3×1−1)30=1×2×3×530=1=\frac{1\times(1 + 1)\times(2\times1 + 1)\times(3\times1^2 + 3\times1 - 1)}{30}=\frac{1\times2\times3\times5}{30}=1。

左边等于右边，所以当 n=1n = 1 时，公式成立。

 

归纳假设

假设当 n=kn = k（kk 为正整数）时，公式成立，即 14+24+34+⋯+k4=k(k+1)(2k+1)(3k2+3k−1)301^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + k^4 = \frac{k(k + 1)(2k + 1)(3k^2 + 3k - 1)}{30}。

 

归纳证明

当 n=k+1n = k + 1 时，14+24+34+⋯+k4+(k+1)41^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + k^4+(k + 1)^4

将归纳假设代入上式得：k(k+1)(2k+1)(3k2+3k−1)30+(k+1)4\frac{k(k + 1)(2k + 1)(3k^2 + 3k - 1)}{30}+(k + 1)^4

通过一系列的化简（展开式子、通分、合并同类项等代数运算），最终可以得到(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1][3(k+1)2+3(k+1)−1]30\frac{(k + 1)[(k + 1)+1][2(k + 1)+1][3(k + 1)^2 + 3(k + 1)-1]}{30}。

这表明当 n=k+1n = k + 1 时公式也成立。

 

综上，由数学归纳法可知，对于任意正整数 nn，上述四次方和公式均成立。

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