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AB的逆等于B的逆乘与A的逆吗

更新时间:2026-08-19 09:09:53   栏目: 早教

若矩阵 AA 和 BB 都是可逆矩阵，则 (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}。

下面给出证明过程：

已知 AA、BB 可逆，那么 A−1A^{-1}、B−1B^{-1} 存在。

计算 (AB)(B−1A−1)(AB)(B^{-1}A^{-1})，根据矩阵乘法的结合律可得：

(AB)(B−1A−1)=A(BB−1)A−1=AIA−1(BB−1=I，I为单位矩阵)=AA−1=I\begin{align*} (AB)(B^{-1}A^{-1})&=A(BB^{-1})A^{-1}\\ &=AIA^{-1}&(BB^{-1} = I，I 为单位矩阵)\\ &=AA^{-1}\\ &=I \end{align*}

同样计算 (B−1A−1)(AB)(B^{-1}A^{-1})(AB)：

(B−1A−1)(AB)=B−1(A−1A)B=B−1IB=B−1B=I\begin{align*} (B^{-1}A^{-1})(AB)&=B^{-1}(A^{-1}A)B\\ &=B^{-1}IB\\ &=B^{-1}B\\ &=I \end{align*}

即 (AB)(B−1A−1)=(B−1A−1)(AB)=I(AB)(B^{-1}A^{-1})=(B^{-1}A^{-1})(AB)=I，满足逆矩阵的定义，所以 (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} 。

这个结论还可以推广到多个可逆矩阵相乘的情况，比如对于可逆矩阵 A1,A2,⋯ ,AnA_1,A_2,\cdots,A_n，有 (A1A2⋯An)−1=An−1An−1−1⋯A1−1(A_1A_2\cdots A_n)^{-1}=A_n^{-1}A_{n - 1}^{-1}\cdots A_1^{-1} 。

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