弦长公式 - 早教 - 育儿知识大全

弦长公式

更新时间:2026-08-19 08:12:44 栏目: 早教

弦长公式是计算直线与曲线相交所得弦长的公式，在不同情境下有不同形式：

1. 平面解析几何中，直线与圆锥曲线相交时

设直线方程为 $y = kx + b$ ，它与圆锥曲线（如椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 、双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 、抛物线 $y^{2}=2px$ 等）相交于两点 $A(x_1,y_1)$ ， $B(x_2,y_2)$ 。
首先联立直线与圆锥曲线方程，消去 $y$ （也可消去 $x$ ）后得到关于 $x$ 的一元二次方程 $Ax^{2} + Bx + C = 0$ （ $A\neq0$ ），由韦达定理可得 $x_1 + x_2 = -\frac{B}{A}$ ， $x_1x_2 = \frac{C}{A}$ 。
弦长 $\vert AB \vert$ 的计算公式为：
$\vert AB \vert=\sqrt{1 + k^{2}}\cdot\sqrt{(x_1 + x_2)^{2} - 4x_1x_2}$

⋅(x1+x2)2−4x1x2

这是因为由两点间距离公式 $\vert AB \vert = \sqrt{(x_1 - x_2)^{2} + (y_1 - y_2)^{2}}$

，又因为 $y_1 - y_2 = k(x_1 - x_2)$ ，所以 $\vert AB \vert=\sqrt{(x_1 - x_2)^{2} + [k(x_1 - x_2)]^{2}}=\sqrt{1 + k^{2}}\cdot\sqrt{(x_1 - x_2)^{2}}=\sqrt{1 + k^{2}}\cdot\sqrt{(x_1 + x_2)^{2} - 4x_1x_2}$

=1+k2

⋅(x1−x2)2

=1+k2

⋅(x1+x2)2−4x1x2

如果消去 $x$ 得到关于 $y$ 的一元二次方程 $Ay^{2} + By + C = 0$ （ $A\neq0$ ），设两根为 $y_1$ ， $y_2$ ，此时弦长公式为 $\vert AB \vert=\sqrt{1+\frac{1}{k^{2}}}\cdot\sqrt{(y_1 + y_2)^{2} - 4y_1y_2}$

⋅(y1+y2)2−4y1y2

（ $k\neq0$ ），推导原理与上述类似。

2. 在圆的相关计算中

已知圆的半径为 $R$ ，圆心到直线的距离为 $d$ ，弦长 $l$ 的计算公式为 $l = 2\sqrt{R^{2}-d^{2}}$

这个公式是基于垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，利用勾股定理推导而来。即弦长的一半、圆心到直线的距离与圆的半径构成直角三角形，圆半径为斜边。

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