点到直线的距离公式是什么 - 早教 - 育儿知识大全

点到直线的距离公式是什么

更新时间:2026-08-19 08:13:34 栏目: 早教

点 $(x_0,y_0)$ 到直线 $Ax + By + C = 0$ （ $A$ 、 $B$ 不同时为 $0$ ）的距离公式为： $d = \frac{\vert Ax_0 + By_0 + C\vert}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$

∣Ax0+By0+C∣。

下面为你简单说明其推导过程：
设点 $P(x_0,y_0)$ ，直线 $l:Ax + By + C = 0$ 。过点 $P$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足为 $Q$ 。

先求直线 $PQ$ 的斜率：直线 $l$ 的斜率 $k = -\frac{A}{B}$ （ $B\neq0$ ），根据两垂直直线斜率之积为 $-1$ ，可得直线 $PQ$ 的斜率为 $\frac{B}{A}$ （ $A\neq0$ ）。

写出直线 $PQ$ 的方程：由点斜式可得直线 $PQ$ 的方程为 $y - y_0 = \frac{B}{A}(x - x_0)$ ，即 $Bx - Ay + Ay_0 - Bx_0 = 0$ 。

联立直线 $l$ 与直线 $PQ$ 的方程求垂足 $Q$ 的坐标：

联立 $\begin{cases}Ax + By + C = 0\\Bx - Ay + Ay_0 - Bx_0 = 0\end{cases}$ ，解方程组求出交点 $Q$ 的坐标（过程较为复杂，此处省略详细求解步骤）。

利用两点间距离公式求 $\vert PQ\vert$ ：已知 $P(x_0,y_0)$ 和求出的 $Q$ 点坐标，根据两点间距离公式 $d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$

，经过一系列化简（包含较多代数运算）最终可得到点 $P(x_0,y_0)$ 到直线 $Ax + By + C = 0$ 的距离公式 $d = \frac{\vert Ax_0 + By_0 + C\vert}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$

∣Ax0+By0+C∣ 。

当 $A = 0$ 或 $B = 0$ 时，该公式依然成立，可以单独验证。例如当 $A = 0$ 时，直线方程变为 $By + C = 0$ 即 $y = -\frac{C}{B}$ ，此时点 $(x_0,y_0)$ 到直线的距离就是 $\vert y_0 - (-\frac{C}{B})\vert = \frac{\vert By_0 + C\vert}{\vert B\vert}=\frac{\vert Ax_0 + By_0 + C\vert}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$

∣Ax0+By0+C∣（因为 $A = 0$ ）。

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