二项式定理公式是什么样的? - 早教 - 育儿知识大全

二项式定理公式是什么样的?

更新时间:2026-08-19 07:07:50 栏目: 早教

二项式定理的基本公式：

对于 $(a + b)^n$ （ $n\in N^*$ ），有 $(a + b)^n = C_{n}^{0}a^{n}b^{0}+C_{n}^{1}a^{n - 1}b^{1}+C_{n}^{2}a^{n - 2}b^{2}+\cdots + C_{n}^{r}a^{n - r}b^{r}+\cdots + C_{n}^{n}a^{0}b^{n}$ 。

其中 $C_{n}^{r}=\frac{n!}{r!(n - r)!}$ ，叫做二项式系数， $C_{n}^{r}a^{n - r}b^{r}$ 是展开式的第 $r + 1$ 项，又称为通项，用 $T_{r + 1}$ 表示，即 $T_{r + 1}=C_{n}^{r}a^{n - r}b^{r}$ 。

公式说明：

项数：展开式共有 $n + 1$ 项。

指数规律：

$a$ 的次数从 $n$ 开始依次递减，每次减 $1$ ，直到 $0$ ； $b$ 的次数从 $0$ 开始依次递增，每次增 $1$ ，直到 $n$ 。

每一项中 $a$ 与 $b$ 的次数之和都等于 $n$ 。

二项式系数性质：

对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 $C_{n}^{r}=C_{n}^{n - r}$ 。

增减性与最大值：当 $r\lt\frac{n + 1}{2}$ 时，二项式系数 $C_{n}^{r}$ 是逐渐增大的；当 $r\gt\frac{n + 1}{2}$ 时，二项式系数 $C_{n}^{r}$ 是逐渐减小的。

当 $n$ 为偶数时，中间一项（第 $\frac{n}{2}+1$ 项）的二项式系数最大；当 $n$ 为奇数时，中间两项（第 $\frac{n + 1}{2}$ 项和第 $\frac{n + 1}{2}+1$ 项）的二项式系数相等且最大。

所有二项式系数的和为 $2^{n}$ ，即 $C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+\cdots + C_{n}^{n}=2^{n}$ 。

奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，都等于 $2^{n - 1}$ ，即 $C_{n}^{0}+C_{n}^{2}+C_{n}^{4}+\cdots = C_{n}^{1}+C_{n}^{3}+C_{n}^{5}+\cdots = 2^{n - 1}$ 。

例如，当 $n = 3$ 时， $(a + b)^3 = C_{3}^{0}a^{3}b^{0}+C_{3}^{1}a^{2}b^{1}+C_{3}^{2}a^{1}b^{2}+C_{3}^{3}a^{0}b^{3}=a^{3}+3a^{2}b + 3ab^{2}+b^{3}$ 。

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