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圆的一般式的圆心和半径怎么求

更新时间:2026-08-19 05:58:38   栏目: 早教

圆的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0（D2+E2−4F>0D^{2} + E^{2} - 4F > 0 ） ，圆心坐标和半径的求法如下：

推导过程

将圆的一般方程通过配方转化为标准方程(x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2} 的形式（其中(a,b)(a,b)为圆心坐标，rr为半径）。

对于方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0，进行配方：

x2+Dx+y2+Ey=−Fx2+Dx+(D2)2+y2+Ey+(E2)2=(D2)2+(E2)2−F(x+D2)2+(y+E2)2=D2+E2−4F4\begin{align*} x^{2} + Dx + y^{2} + Ey&=-F\\ x^{2} + Dx + (\frac{D}{2})^{2} + y^{2} + Ey + (\frac{E}{2})^{2}&= (\frac{D}{2})^{2} + (\frac{E}{2})^{2} - F\\ (x + \frac{D}{2})^{2} + (y + \frac{E}{2})^{2}&=\frac{D^{2} + E^{2} - 4F}{4} \end{align*}

圆心坐标和半径

圆心坐标：由上述标准方程可知，圆心坐标为 (−D2,−E2)(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2})。

半径：半径r=D2+E2−4F2r = \frac{\sqrt{D^{2} + E^{2} - 4F}}{2}

​​ 。

例如，对于圆的一般方程 x2+y2−4x+6y−3=0x^{2} + y^{2} - 4x + 6y - 3 = 0，其中 D=−4D = -4，E=6E = 6，F=−3F = -3 。

圆心横坐标为−D2=−−42=2-\frac{D}{2} = - \frac{-4}{2} = 2，纵坐标为−E2=−62=−3-\frac{E}{2} = - \frac{6}{2} = -3，所以圆心坐标是(2,−3)(2,-3)。

半径r=(−4)2+62−4×(−3)2=16+36+122=642=4r = \frac{\sqrt{(-4)^{2} + 6^{2} - 4\times(-3)}}{2} = \frac{\sqrt{16 + 36 + 12}}{2} = \frac{\sqrt{64}}{2} = 4

​​=216+36+12

​​=264

​​=4。

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