圆弧面积计算公式! - 早教 - 育儿知识大全

圆弧面积计算公式!

更新时间:2026-08-19 04:55:16 栏目: 早教

圆弧本身没有面积，包含圆弧的常见图形有扇形和弓形，下面分别给出它们的面积公式：

扇形面积公式

扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。

已知扇形圆心角为 $n^{\circ}$ ，半径为 $r$ 时：

扇形面积 $S=\frac{n\pi r^{2}}{360}$ （ $n$ 是圆心角度数， $\pi$ 是圆周率， $r$ 为扇形半径）。

推导过程：圆的面积公式为 $S_{圆}=\pi r^{2}$ ，整个圆的圆心角是 $360^{\circ}$ ，扇形圆心角为 $n^{\circ}$ ，那么扇形面积占整个圆面积的比例为 $\frac{n}{360}$ ，所以扇形面积 $S = \frac{n}{360}\times\pi r^{2}=\frac{n\pi r^{2}}{360}$ 。

已知扇形弧长为 $l$ ，半径为 $r$ 时：

扇形面积 $S=\frac{1}{2}lr$ 。

推导过程：我们可以把扇形看作是一个曲边三角形，弧长 $l$ 相当于三角形的底，半径 $r$ 相当于三角形的高，根据三角形面积公式 $S = \frac{1}{2}\times底\times高$ ，就得到扇形面积 $S=\frac{1}{2}lr$ 。

弓形面积公式

弓形是由弦及其所对的弧组成的图形，其面积等于扇形面积减去三角形面积（这里的三角形是以扇形的两条半径和弦构成的等腰三角形）。

当弓形所含的弧是劣弧时：

设扇形圆心角为 $n^{\circ}$ ，半径为 $r$ ，弦长为 $a$ 。先求扇形面积 $S_{扇}=\frac{n\pi r^{2}}{360}$ ，再求三角形面积 $S_{\triangle}=\frac{1}{2}r^{2}\sin n$ （这里利用正弦定理求三角形面积， $n$ 为圆心角的度数），则弓形面积 $S_{弓}=S_{扇}-S_{\triangle}=\frac{n\pi r^{2}}{360}-\frac{1}{2}r^{2}\sin n$ 。

当弓形所含的弧是优弧时：

同样先求出对应的扇形面积 $S_{扇}$ 和三角形面积 $S_{\triangle}$ ，此时弓形面积 $S_{弓}=S_{扇}+S_{\triangle}$ 。

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