三角形内切圆半径公式 - 早教 - 育儿知识大全

三角形内切圆半径公式

更新时间:2026-08-19 04:56:35 栏目: 早教

三角形内切圆半径公式有多种表达形式，以下为你详细介绍：

已知三角形三边和面积时

设三角形的三边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，面积为 $S$ ，其内切圆半径为 $r$ 。
三角形面积可以分割为以内切圆圆心为顶点，分别以三边为底边的三个小三角形的面积之和。每个小三角形的高都等于内切圆半径 $r$ 。
则 $S = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr = \frac{1}{2}(a + b + c)r$
由此可得内切圆半径公式： $r = \frac{2S}{a + b + c}$

已知直角三角形三边时

对于直角三角形，两直角边为 $a$ 、 $b$ ，斜边为 $c$ 。
其内切圆半径公式为： $r = \frac{a + b - c}{2}$
推导过程：由上述通用公式 $r = \frac{2S}{a + b + c}$ ，直角三角形面积 $S = \frac{1}{2}ab$ ，代入可得 $r = \frac{ab}{a + b + c}$ 。再通过一定的代数变形（ $ab = \frac{(a + b)^2 - (a^2 + b^2)}{2}$ ，而直角三角形中 $a^2 + b^2 = c^2$ ），最终可得出 $r = \frac{a + b - c}{2}$ 。

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