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求棱长为1的正三棱锥体积

更新时间:2026-08-19 02:29:09   栏目: 早教

首先求正三棱锥的底面积SS：

正三棱锥底面是正三角形，边长a=1a = 1。

根据正三角形面积公式S=34a2S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}

​​a2（其中aa为正三角形边长），将a=1a = 1代入可得底面正三角形面积S=34×12=34S=\frac{\sqrt{3}}{4}\times1^{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}

​​×12=43

​​。

 

然后求正三棱锥的高hh：

先求底面正三角形的中心到底面顶点的距离rr。

对于边长为aa的正三角形，其中心到底面顶点的距离rr（外接圆半径）的计算公式为r=33ar = \frac{\sqrt{3}}{3}a

​​a。

已知a=1a = 1，则r=33×1=33r=\frac{\sqrt{3}}{3}\times1=\frac{\sqrt{3}}{3}

​​×1=33

​​。

 

正三棱锥棱长l=1l = 1，根据勾股定理求正三棱锥的高hh。

正三棱锥的高hh、棱长ll与底面中心到底面顶点的距离rr构成直角三角形，其中棱长ll为斜边。

由勾股定理h=l2−r2h=\sqrt{l^{2}-r^{2}}

​，把l=1l = 1，r=33r=\frac{\sqrt{3}}{3}

​​代入可得：

h=12−(33)2=1−13=23=63h=\sqrt{1^{2}-(\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}}=\sqrt{1 - \frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}

​​)2

​=1−31​

​=32​

​=36

​​。

 

 

 

最后求正三棱锥的体积VV：

正三棱锥体积公式为V=13ShV=\frac{1}{3}Sh（SS是底面积，hh是高）。

已求得S=34S = \frac{\sqrt{3}}{4}

​​，h=63h=\frac{\sqrt{6}}{3}

​​，代入体积公式可得：

V=13×34×63=1836=3236=212V=\frac{1}{3}\times\frac{\sqrt{3}}{4}\times\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{18}}{36}=\frac{3\sqrt{2}}{36}=\frac{\sqrt{2}}{12}

​​×36

​​=3618

​​=3632

​​=122

​​。

 

 

综上，棱长为11的正三棱锥体积是212\frac{\sqrt{2}}{12}

​​。

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