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等边三角形面积公式是什么

更新时间:2026-08-19 02:08:16   栏目: 早教

等边三角形面积公式有多种表达形式，以下为您详细介绍：

已知边长aa求面积

设等边三角形边长为aa，先求其高hh。根据勾股定理，等边三角形的高把等边三角形平分为两个全等的直角三角形，直角三角形的斜边为等边三角形的边长aa，一条直角边为边长的一半a2\frac{a}{2}。

则高h=a2−(a2)2=3a24=32ah = \sqrt{a^{2} - (\frac{a}{2})^{2}} = \sqrt{\frac{3a^{2}}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}a

​=43a2​

​=23

​​a

所以面积S=12×底×高=12×a×32a=34a2S = \frac{1}{2}×底×高 = \frac{1}{2}×a×\frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}

​​a=43

​​a2

已知周长CC求面积

因为等边三角形三边相等，若周长CC已知，则边长a=C3a = \frac{C}{3}，将其代入上述面积公式S=34a2S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}

​​a2可得：

S=34×(C3)2=3C236S = \frac{\sqrt{3}}{4}×(\frac{C}{3})^{2} = \frac{\sqrt{3}C^{2}}{36}

​​×(3C​)2=363

​C2​

已知外接圆半径RR求面积

由正弦定理可知，asin⁡A=2R\frac{a}{\sin A} = 2R（AA为三角形的内角，aa为角AA所对的边），对于等边三角形，A=60∘A = 60^{\circ}，sin⁡A=sin⁡60∘=32\sin A = \sin60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}

​​

则a=2Rsin⁡A=2R×32=3Ra = 2R\sin A = 2R×\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}R

​​=3

​R

将a=3Ra = \sqrt{3}R

​R代入面积公式S=34a2S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}

​​a2可得：

S=34×(3R)2=33R24S = \frac{\sqrt{3}}{4}×(\sqrt{3}R)^{2} = \frac{3\sqrt{3}R^{2}}{4}

​​×(3

​R)2=433

​R2​

已知内切圆半径rr求面积

由于等边三角形的内心与外心重合，且内切圆半径rr与外接圆半径RR以及边长aa存在关系r=12×32ar = \frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}a

​​a，即a=2r32=4r3a = \frac{2r}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4r}{\sqrt{3}}

​​2r​=3

​4r​

将a=4r3a = \frac{4r}{\sqrt{3}}

​4r​代入面积公式S=34a2S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}

​​a2可得：

S=34×(4r3)2=43r23S = \frac{\sqrt{3}}{4}×(\frac{4r}{\sqrt{3}})^{2} = \frac{4\sqrt{3}r^{2}}{3}

​​×(3

​4r​)2=343

​r2​

最常用的是根据边长计算面积的公式S=34a2S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}

​​a2，您可根据题目所给条件选择合适的公式进行计算。

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