在一元函数中，可导和可微是等价的关系，它们有非常紧密的联系；在多元函数中，可微的条件比可导更严格。以下为你详细阐述：

一元函数

可导必可微：如果函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，即 $f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 存在，那么函数在该点可微。此时函数的增量 $\Delta y$ 可以表示为 $\Delta y = f^\prime(x_0)\Delta x + o(\Delta x)$ ，其中 $o(\Delta x)$ 是比 $\Delta x$ 高阶的无穷小。这里 $f^\prime(x_0)\Delta x$ 就是函数的微分 $dy$ ，即 $dy = f^\prime(x_0)\Delta x$ 。

可微必可导：若函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微，即 $\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x)$ （$A$ 是与 $\Delta x$ 无关的常数），那么 $\frac{\Delta y}{\Delta x}=A + \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}$ 。当 $\Delta x \to 0$ 时，$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = A$ ，也就是函数在 $x_0$ 点的导数 $f^\prime(x_0)=A$ 存在。

多元函数

以二元函数 $z = f(x,y)$ 为例：

可微则偏导数存在（相当于多元函数中的“可导”）：如果函数 $z = f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微，那么函数在该点关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}\big|_{(x_0,y_0)}$

​(x0​,y0​)​ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}\big|_{(x_0,y_0)}$

​(x0​,y0​)​ 都存在。函数的全增量 $\Delta z$ 可以表示为 $\Delta z = \frac{\partial z}{\partial x}\big|_{(x_0,y_0)}\Delta x + \frac{\partial z}{\partial y}\big|_{(x_0,y_0)}\Delta y + o(\rho)$

​(x0​,y0​)​Δx+∂y∂z​

​(x0​,y0​)​Δy+o(ρ) ，其中 $\rho=\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$

​ 。

偏导数存在不一定可微：仅仅知道二元函数在某点的偏导数存在，并不能保证函数在该点可微 。偏导数存在只是可微的必要条件而非充分条件。只有当偏导数在该点连续时，函数才一定可微。也就是说，多元函数可微要求函数的变化更为“平滑”，对函数的性质要求更高。

总体而言，一元函数中可导与可微等价，多元函数中可微能推出偏导数存在，但偏导数存在推不出可微 。