二次函数求根公式 - 早教 - 育儿知识大全

二次函数求根公式

更新时间:2026-08-19 00:15:18 栏目: 早教

对于一元二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ （ $a\neq0$ ），令 $y = 0$ ，就得到一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ ，其求根公式为：

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

其中， $a$ 是二次项系数， $b$ 是一次项系数， $c$ 是常数项。 $b^2 - 4ac$ 被称为判别式，用符号 $\Delta$ 表示，即 $\Delta = b^2 - 4ac$ 。判别式的值可以用来判断方程根的情况：

当 $\Delta \gt 0$ 时，方程有两个不相等的实数根；

当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实数根，此时求根公式可写成 $x = -\frac{b}{2a}$ ；

当 $\Delta \lt 0$ 时，方程没有实数根，但在复数范围内有两个共轭复数根。

这个求根公式是通过配方法推导出来的，具体推导过程如下：

对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ （ $a\neq0$ ），首先将方程两边同时除以 $a$ ，得到 $x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$ 。

然后进行配方，在等式左边加上一次项系数一半的平方 $(\frac{b}{2a})^2$ ，同时在等式右边减去 $(\frac{b}{2a})^2$ ，可得：

$\begin{align*} x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2&= (\frac{b}{2a})^2 - \frac{c}{a}\\ (x + \frac{b}{2a})^2&= \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}\\ (x + \frac{b}{2a})^2&= \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \end{align*}$

接下来对等式两边同时开平方：

$x + \frac{b}{2a} = \pm\sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} = \pm\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

=±2ab2−4ac

最后移项可得求根公式：

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

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