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椭圆的第二定义公式

更新时间:2026-08-18 23:22:53   栏目: 早教

椭圆的第二定义：平面内与一个定点 FF 和一条定直线 ll（F∉lF\notin l）的距离之比为常数 ee（0<e<10\lt e\lt1）的点的轨迹叫做椭圆。其中，定点 FF 称为椭圆的一个焦点，定直线 ll 称为椭圆相应于焦点 FF 的准线，常数 ee 称为椭圆的离心率。

设椭圆方程为 x2a2+y2b2=1\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1（a>b>0a\gt b\gt0），焦点 F(c,0)F(c,0)，相应的准线方程是 x=a2cx=\frac{a^{2}}{c} ；若焦点为 F(−c,0)F(-c,0)， 相应的准线方程是 x=−a2cx = -\frac{a^{2}}{c}。

对于椭圆上任意一点 M(x,y)M(x,y) ，根据第二定义有：∣MF∣d=e\frac{\vert MF\vert}{d}=e（0<e<10\lt e\lt1），其中 ∣MF∣\vert MF\vert 表示点 MM 到焦点 FF 的距离，dd 表示点 MM 到相应准线的距离。

以焦点 F(c,0)F(c,0) 及准线 x=a2cx=\frac{a^{2}}{c} 为例，∣MF∣=(x−c)2+y2\vert MF\vert=\sqrt{(x - c)^{2}+y^{2}}

​，点 M(x,y)M(x,y) 到准线 x=a2cx=\frac{a^{2}}{c} 的距离 d=∣x−a2c∣d=\vert x-\frac{a^{2}}{c}\vert ，则 (x−c)2+y2∣x−a2c∣=e\frac{\sqrt{(x - c)^{2}+y^{2}}}{\vert x-\frac{a^{2}}{c}\vert}=e

​​=e 。

同理对于焦点在 yy 轴上的椭圆 y2a2+x2b2=1\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1（a>b>0a\gt b\gt0），焦点 F(0,c)F(0,c) ，相应准线方程是 y=a2cy=\frac{a^{2}}{c} ；焦点 F(0,−c)F(0, - c) ，相应准线方程是 y=−a2cy = -\frac{a^{2}}{c} ，也满足上述类似的距离比例关系 ∣MF∣d=e\frac{\vert MF\vert}{d}=e（0<e<10\lt e\lt1） 。

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