点与点的距离公式

平面直角坐标系中：

设两个点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则$A$和$B$两点之间的距离公式为$d(A,B)=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$

​。

推导过程：以$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$为端点构造直角三角形，水平直角边长度为$\vert x_2 - x_1\vert$，垂直直角边长度为$\vert y_2 - y_1\vert$。根据勾股定理，斜边（即$AB$的距离）的平方等于两直角边的平方和，所以$d^2=(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2$，开方后就得到$d(A,B)=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$

​。

空间直角坐标系中：

设两个点$M(x_1,y_1,z_1)$，$N(x_2,y_2,z_2)$，则$M$和$N$两点之间的距离公式为$d(M,N)=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2+(z_2 - z_1)^2}$

​。

推导思路与平面类似，只不过是在三维空间中构造长方体，$MN$为长方体的体对角线，根据长方体体对角线与棱长的关系（体对角线的平方等于三条棱长的平方和）得出该公式。

线与线的距离公式

两条平行直线间的距离公式（平面直角坐标系）：

对于两条平行直线$l_1:Ax + By + C_1 = 0$，$l_2:Ax + By + C_2 = 0$（$A$、$B$不同时为$0$），它们之间的距离公式为$d=\frac{\vert C_1 - C_2\vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

​∣C1​−C2​∣​。

推导过程：在直线$l_1$上任取一点$P(x_0,y_0)$，则$Ax_0 + By_0 + C_1 = 0$，即$Ax_0 + By_0=-C_1$。点$P(x_0,y_0)$到直线$l_2$的距离$d$，根据点到直线的距离公式$d=\frac{\vert Ax_0 + By_0 + C_2\vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

​∣Ax0​+By0​+C2​∣​，把$Ax_0 + By_0=-C_1$代入可得$d=\frac{\vert -C_1 + C_2\vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}=\frac{\vert C_1 - C_2\vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

​∣−C1​+C2​∣​=A2+B2

​∣C1​−C2​∣​。

异面直线间的距离（空间直角坐标系）：

设异面直线$a$，$b$，$n$是与$a$，$b$都垂直的向量（公垂向量），$A\in a$ ，$B\in b$，则异面直线$a$与$b$之间的距离$d = \frac{\vert\overrightarrow{AB}\cdot n\vert}{\vert n\vert}$

⋅n∣​。

推导：因为$n$是公垂向量，$\overrightarrow{AB}$

在公垂向量$n$方向上的投影的绝对值就是异面直线$a$与$b$之间的距离。根据向量投影公式，向量$\overrightarrow{AB}$

在向量$n$上的投影为$\frac{\overrightarrow{AB}\cdot n}{\vert n\vert}$

⋅n​，其绝对值就是异面直线间的距离。