三角形重心公式 - 早教 - 育儿知识大全

三角形重心公式

更新时间:2026-08-18 22:38:57 栏目: 早教

定义：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。

重心坐标公式：

对于平面直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标分别为 $A(x_1,y_1)$ ， $B(x_2,y_2)$ ， $C(x_3,y_3)$ ，则该三角形重心 $G$ 的坐标为 $(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3},\frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$ 。

推导过程：

设 $A(x_1,y_1)$ ， $B(x_2,y_2)$ ， $C(x_3,y_3)$ ， $BC$ 边中点 $D$ 的坐标为 $(\frac{x_2 + x_3}{2},\frac{y_2 + y_3}{2})$ 。

根据定比分点坐标公式，若有两点 $P(x_4,y_4)$ ， $Q(x_5,y_5)$ ，点 $M$ 分线段 $PQ$ 的比为 $\lambda$ ，则 $M$ 点坐标为 $(\frac{x_4+\lambda x_5}{1 + \lambda},\frac{y_4+\lambda y_5}{1 + \lambda})$ 。

因为重心 $G$ 分中线 $AD$ 的比为 $2:1$ （这是三角形重心的性质，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 $2:1$ ）。

那么对于 $A(x_1,y_1)$ 和 $D(\frac{x_2 + x_3}{2},\frac{y_2 + y_3}{2})$ ，设重心 $G$ 坐标为 $(x_G,y_G)$ 。

由定比分点坐标公式可得：

$x_G=\frac{x_1 + 2\times\frac{x_2 + x_3}{2}}{1 + 2}=\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$ ；

$y_G=\frac{y_1 + 2\times\frac{y_2 + y_3}{2}}{1 + 2}=\frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$ 。

所以三角形重心 $G$ 的坐标为 $(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3},\frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$ 。

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