判断函数是否有界，可以从定义出发，结合函数的性质、图像以及一些常见的判别方法来进行，以下是一些常见的判断方式：

利用函数有界性的定义

定义：设函数 $y = f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义，如果存在正数 $M$ ，使得对于任意 $x\in I$ ，都有 $|f(x)| \leq M$ ，则称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有界；如果不存在这样的正数 $M$ ，则称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上无界 。

示例：对于函数 $f(x)=\sin x$ ，由于对于任意实数 $x$ ，都有 $|\sin x|\leq 1$ ，这里取 $M = 1$ ，满足有界性定义，所以函数 $y = \sin x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有界。再如函数 $f(x)=\frac{1}{x}$ ，在区间 $(0,1)$ 上，当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\frac{1}{x}$ 的值会无限增大，不存在一个正数 $M$ ，使得对于区间 $(0,1)$ 内的所有 $x$ ，都有 $\left|\frac{1}{x}\right|\leq M$

​x1​

​≤M ，所以函数 $f(x)=\frac{1}{x}$ 在区间 $(0,1)$ 上无界。

根据函数的单调性

单调有界准则：若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上单调递增且 $f(a)$ 和 $f(b)$ 都存在，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界；若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上单调递减且 $f(a)$ 和 $f(b)$ 都存在，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界。

示例：对于函数 $f(x)=x^2$ 在区间 $[0, 1]$ 上单调递增，$f(0)=0$ ，$f(1)=1$ ，那么对于任意 $x\in[0,1]$ ，都有 $0\leq f(x)\leq 1$ ，所以函数 $f(x)=x^2$ 在区间 $[0,1]$ 上有界。

借助函数的极限

极限存在与有界的关系：如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内有定义，且 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在，那么存在 $x_0$ 的一个去心邻域，在该邻域内 $f(x)$ 有界。对于 $x \to \infty$ 的情况也类似，如果 $\lim_{x \to \infty} f(x)$ 存在，那么存在 $X > 0$ ，当 $|x| > X$ 时，$f(x)$ 有界。

示例：考虑函数 $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ ，当 $x \to \infty$ 时，$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0$ （因为 $|\sin x|\leq 1$ ，当 $x$ 趋于无穷大时，$\frac{\sin x}{x}$ 趋于 $0$ ），这说明存在 $X > 0$ ，当 $|x| > X$ 时，$f(x)$ 有界。又因为 $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 在 $x = 0$ 处的极限存在（极限值为 $1$ ），补充定义 $f(0)=1$ 后，函数在包含 $0$ 的某个邻域内也有界，综合起来可知函数 $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有界。

分析函数的定义域和值域

观察值域范围：求出函数的值域，如果值域是一个有限区间，那么函数有界；如果值域是无限区间，则函数无界。

示例：对于二次函数 $y = -x^2 + 2x + 3$ ，通过配方可得 $y = -(x - 1)^2 + 4$ ，其值域是 $(-\infty, 4]$ ，所以该函数有上界 $4$ ，但没有下界，整体在 $(-\infty,+\infty)$ 上无界。若限定定义域为 $[0, 2]$ ，此时函数的值域为 $[3, 4]$ ，则函数在 $[0, 2]$ 上有界。