向量外积的定义

向量的外积，也叫叉积，只在三维空间中有定义。假设有两个三维向量 $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$

=(a1​,a2​,a3​) 和 $\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$

=(b1​,b2​,b3​)，它们的外积 $\vec{a} \times \vec{b}$

×b

是一个向量，其计算公式为：

$$\vec{a} \times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3 \end{array}\right|=\vec{i}(a_2b_3 - a_3b_2)-\vec{j}(a_1b_3 - a_3b_1)+\vec{k}(a_1b_2 - a_2b_1)$$

×b

=

​i

a1​b1​​j

​a2​b2​​k

a3​b3​​

​=i

(a2​b3​−a3​b2​)−j

​(a1​b3​−a3​b1​)+k

(a1​b2​−a2​b1​)

其中 $\vec{i}$

，$\vec{j}$

​，$\vec{k}$

分别是 $x$，$y$，$z$ 轴正方向的单位向量。

向量外积的几何意义：

$\vec{a} \times \vec{b}$

×b

的模长 $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$

×b

∣=∣a

∣∣b

∣sinθ，其中 $\theta$ 为 $\vec{a}$

与 $\vec{b}$

的夹角（$0\leqslant\theta\leqslant\pi$）。这意味着向量外积的模长等于以这两个向量为邻边所构成平行四边形的面积。

$\vec{a} \times \vec{b}$

×b

的方向垂直于 $\vec{a}$

与 $\vec{b}$

所确定的平面，且 $\vec{a}$

，$\vec{b}$

，$\vec{a} \times \vec{b}$

×b

符合右手定则。即右手四指从 $\vec{a}$

以不超过 $\pi$ 的角度转向 $\vec{b}$

时，大拇指的指向就是 $\vec{a} \times \vec{b}$

×b

的方向。

向量内积的定义

向量的内积，也叫点积。对于两个 $n$ 维向量 $\vec{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$

=(a1​,a2​,⋯,an​) 和 $\vec{b}=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$

=(b1​,b2​,⋯,bn​)，它们的内积 $\vec{a} \cdot \vec{b}$

⋅b

是一个标量，计算公式为：
$\vec{a} \cdot \vec{b}=a_1b_1 + a_2b_2+\cdots+a_nb_n$

⋅b

=a1​b1​+a2​b2​+⋯+an​bn​

向量内积的几何意义：

$\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

⋅b

=∣a

∣∣b

∣cosθ，其中 $\theta$ 为 $\vec{a}$

与 $\vec{b}$

的夹角（$0\leqslant\theta\leqslant\pi$）。这表明向量内积等于一个向量的模长乘以另一个向量在这个向量方向上的投影长度。

向量外积与内积的区别

运算结果

外积：运算结果是一个向量。例如在三维空间中，两个向量进行外积运算后得到的是一个与这两个向量都垂直的向量。

内积：运算结果是一个标量（实数）。比如计算两个二维向量的内积，最终得到的是一个数值。

几何意义

外积：模长表示以这两个向量为邻边的平行四边形的面积，方向垂直于这两个向量所在平面且遵循右手定则。

内积：体现的是一个向量在另一个向量方向上的投影与该向量模长的乘积，反映了两个向量在方向上的关联程度。

运算律

外积：不满足交换律，即 $\vec{a} \times \vec{b}=-\vec{b} \times \vec{a}$

×b

=−b

×a

；满足分配律，即 $\vec{a} \times (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \times \vec{b}+\vec{a} \times \vec{c}$

×(b

+c

)=a

×b

+a

×c

。

内积：满足交换律，即 $\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b} \cdot \vec{a}$

⋅b

=b

⋅a

；也满足分配律，即 $\vec{a} \cdot (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{c}$

⋅(b

+c

)=a

⋅b

+a

⋅c

。

坐标运算形式

外积：在三维空间中，通过行列式形式计算，如前面所述。

内积：在 $n$ 维空间中，对应坐标分量相乘再求和。例如二维向量 $\vec{a}=(x_1,y_1)$

=(x1​,y1​)，$\vec{b}=(x_2,y_2)$

=(x2​,y2​)，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}=x_1x_2 + y_1y_2$

⋅b

=x1​x2​+y1​y2​ 。