求二次函数的最大值和最小值各用什么公式去了? - 早教 - 育儿知识大全

求二次函数的最大值和最小值各用什么公式去了?

更新时间:2026-08-18 21:59:32 栏目: 早教

对于二次函数 $y = ax^{2} + bx + c$ （ $a\neq0$ ），求其最大值或最小值可以通过以下两种常见方法：

顶点坐标公式法

二次函数的顶点式为 $y=a(x - h)^{2}+k$ ，其顶点坐标为 $(h,k)$ ，对于二次函数 $y = ax^{2} + bx + c$ ，通过配方法可转化为顶点式：

$\begin{align*} y&=ax^{2}+bx + c\\ &=a\left(x^{2}+\frac{b}{a}x\right)+c\\ &=a\left[x^{2}+2\times\frac{b}{2a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}-\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}\right]+c\\ &=a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2} + c - \frac{b^{2}}{4a} \end{align*}$

所以其顶点坐标为 $\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^{2}}{4a}\right)$ 。

当 $a\gt0$ 时，二次函数图象开口向上，函数在顶点处取得最小值，即 $y_{min}=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$ ，无最大值。

当 $a\lt0$ 时，二次函数图象开口向下，函数在顶点处取得最大值，即 $y_{max}=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$ ，无最小值。

利用对称轴结合单调性

二次函数 $y = ax^{2} + bx + c$ （ $a\neq0$ ）的对称轴为直线 $x = -\frac{b}{2a}$ 。

当 $a\gt0$ 时：

函数在对称轴左侧，即 $x \lt -\frac{b}{2a}$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小；

在对称轴右侧，即 $x \gt -\frac{b}{2a}$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大。

所以当 $x = -\frac{b}{2a}$ 时，函数取得最小值 $y_{min}=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$ ，无最大值。

当 $a\lt0$ 时：

函数在对称轴左侧，即 $x \lt -\frac{b}{2a}$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大；

在对称轴右侧，即 $x \gt -\frac{b}{2a}$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小。

所以当 $x = -\frac{b}{2a}$ 时，函数取得最大值 $y_{max}=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$ ，无最小值。

如果二次函数的自变量 $x$ 有取值范围限制（例如 $m\leq x\leq n$ ），则需要分情况讨论对称轴 $x = -\frac{b}{2a}$ 与区间 $[m,n]$ 的位置关系，来确定函数在该区间内的最大值和最小值。

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