如何求函数y=shx的反函数 - 早教 - 育儿知识大全

如何求函数y=shx的反函数

更新时间:2026-08-18 21:14:38 栏目: 早教

首先明确双曲正弦函数 $y = shx$ 的表达式：

双曲正弦函数 $y = shx=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ ，设其反函数为 $x = f(y)$ ，也就是从 $y=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ 中解出 $x$ 关于 $y$ 的表达式。

令 $e^{x}=t$ （ $t>0$ ），则 $e^{-x}=\frac{1}{t}$ ，原方程 $y = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ 可化为 $y=\frac{t-\frac{1}{t}}{2}$ 。

整理这个方程：

等式两边同时乘以 $2$ 得到 $2y=t - \frac{1}{t}$ ，进一步变形为 $t^{2}-2yt - 1 = 0$ 。

这是一个关于 $t$ 的一元二次方程，对于一元二次方程 $at^{2}+bt + c = 0$ （这里 $a = 1$ ， $b=-2y$ ， $c = -1$ ），其求根公式为 $t=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

。

将 $a = 1$ ， $b=-2y$ ， $c = -1$ 代入求根公式可得 $t=\frac{2y\pm\sqrt{4y^{2}+4}}{2}=y\pm\sqrt{y^{2}+1}$

=y±y2+1

。

因为 $t = e^{x}>0$ ，而 $y-\sqrt{y^{2}+1}<0$

<0（因为 $\sqrt{y^{2}+1}>y$

>y恒成立），所以舍去 $t = y-\sqrt{y^{2}+1}$

，则 $t = e^{x}=y+\sqrt{y^{2}+1}$

。

然后求解 $x$ ：

对 $e^{x}=y+\sqrt{y^{2}+1}$

两边取自然对数，可得 $x = \ln(y+\sqrt{y^{2}+1})$

)。

所以 $y = shx$ 的反函数为 $y = \ln(x+\sqrt{x^{2}+1})$

)，通常记为 $arshx=\ln(x+\sqrt{x^{2}+1})$

) ，其定义域为 $(-\infty,+\infty)$ 。

综上，函数 $y = shx$ 的反函数是 $y=\ln(x+\sqrt{x^{2}+1})$

)。

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