二次根式化简公式

$\sqrt{a^2}=\vert a\vert$

​=∣a∣

当$a\geq0$时，$\sqrt{a^2}=a$

​=a ，例如$\sqrt{3^2} = 3$

​=3；

当$a\lt0$时，$\sqrt{a^2}=-a$

​=−a ，例如$\sqrt{(-3)^2} = \vert - 3\vert = 3$

​=∣−3∣=3 。

$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}(a\geq0,b\geq0)$

​=a

​⋅b

​(a≥0,b≥0)

利用此公式可以将被开方数中能开得尽方的因数或因式开出来，例如$\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=\sqrt{4}\times\sqrt{3}=2\sqrt{3}$

​=4×3

​=4

​×3

​=23

​ 。

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a\geq0,b\gt0)$

​=b

​a

​​(a≥0,b>0)

该公式用于分母有理化，把分母中的根号化去，例如$\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

​=3

​2

​​=3

​×3

​2

​×3

​​=36

​​ 。

二次根式化简方法

将被开方数化为最简形式

分解因数或因式：把被开方数分解成质因数或因式的乘积形式，找出其中能开得尽方的因数或因式。例如化简$\sqrt{72}$

​，先将$72$分解因数：$72 = 2\times36 = 2\times6^2$，则$\sqrt{72}=\sqrt{2\times6^2}=6\sqrt{2}$

​=2×62

​=62

​ 。

完全平方公式的运用：对于形如$\sqrt{a^2 + 2ab + b^2}$

​或$\sqrt{a^2 - 2ab + b^2}$

​的式子，可根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab + b^2$进行化简。例如$\sqrt{x^2 + 6x + 9}=\sqrt{(x + 3)^2}=\vert x + 3\vert$

​=(x+3)2

​=∣x+3∣，当$x\geq - 3$时，结果为$x + 3$；当$x\lt - 3$时，结果为$-(x + 3)= - x - 3$ 。

分母有理化

单项式分母有理化：如果分母是单项式$\sqrt{a}$

​（$a\gt0$），则分子分母同乘$\sqrt{a}$

​。例如$\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1\times\sqrt{5}}{\sqrt{5}\times\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

​1​=5

​×5

​1×5

​​=55

​​ 。

多项式分母有理化：当分母是多项式，如$\sqrt{a}+\sqrt{b}$

​+b

​（$a\geq0,b\geq0$且$a\neq b$）时，利用平方差公式$(m + n)(m - n)=m^2 - n^2$，分子分母同乘$\sqrt{a}-\sqrt{b}$

​−b

​ 。例如$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3 - 2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$

​+2

​1​=(3

​+2

​)(3

​−2

​)3

​−2

​​=3−23

​−2

​​=3

​−2

​ 。

合并同类二次根式

识别同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。例如$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

​=22

​，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$

​=32

​，$\sqrt{2}$

​、$2\sqrt{2}$

​、$3\sqrt{2}$

​就是同类二次根式。

合并方法：同类二次根式可以像合并同类项一样进行合并，只把系数相加减，被开方数和根指数不变。例如$2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=(2 + 3)\sqrt{3}=5\sqrt{3}$

​+33

​=(2+3)3

​=53

​ 。