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完全立方和公式是什么

更新时间:2026-08-18 20:13:54   栏目: 早教

完全立方和公式是(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3。

该公式可通过多项式乘法推导得出：

(a+b)3=(a+b)(a+b)2=(a+b)(a2+2ab+b2)=a×(a2+2ab+b2)+b×(a2+2ab+b2)=a3+2a2b+ab2+a2b+2ab2+b3=a3+3a2b+3ab2+b3\begin{align*} (a + b)^3&=(a + b)(a + b)^2\\ &=(a + b)(a^2 + 2ab + b^2)\\ &=a\times(a^2 + 2ab + b^2)+b\times(a^2 + 2ab + b^2)\\ &=a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3\\ &=a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \end{align*}

例如，当a=2a = 2，b=3b = 3 时，按照完全立方和公式计算 (2+3)3(2 + 3)^3 ：

常规计算(2+3)3=53=125(2 + 3)^3 = 5^3 = 125 。

用公式计算：a3+3a2b+3ab2+b3=23+3×22×3+3×2×32+33=8+3×4×3+3×2×9+27=8+36+54+27=125a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = 2^3 + 3×2^2×3 + 3×2×3^2 + 3^3 = 8 + 3×4×3 + 3×2×9 + 27 = 8 + 36 + 54 + 27 = 125 。结果一致。

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