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圆的半径公式利用圆的标准方程来求的那个

更新时间:2026-08-18 18:31:52   栏目: 早教

圆的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，其中(a,b)(a,b)为圆心坐标，rr为圆的半径。

如果已知圆的标准方程，那么半径rr的值可以直接通过方程右边的数值来确定。具体来说，对标准方程右边的数值进行开平方运算，得到的非负结果就是圆的半径。

例如，对于圆的标准方程(x−2)2+(y+3)2=25(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25，方程右边是2525，那么该圆的半径r=25=5r = \sqrt{25} = 5

​=5。

如果给定的不是标准方程，而是圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0（D2+E2−4F>0D^2 + E^2 - 4F > 0），我们可以通过配方将其转化为标准方程：

x2+y2+Dx+Ey+F=0x2+Dx+(D2)2+y2+Ey+(E2)2=(D2)2+(E2)2−F(x+D2)2+(y+E2)2=D2+E2−4F4\begin{align*} x^2 + y^2 + Dx + Ey + F &= 0\\ x^2 + Dx + (\frac{D}{2})^2 + y^2 + Ey + (\frac{E}{2})^2 &= (\frac{D}{2})^2 + (\frac{E}{2})^2 - F\\ (x + \frac{D}{2})^2 + (y + \frac{E}{2})^2 &= \frac{D^2 + E^2 - 4F}{4} \end{align*}

此时圆的半径r=D2+E2−4F4=D2+E2−4F2r = \sqrt{\frac{D^2 + E^2 - 4F}{4}} = \frac{\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}

​=2D2+E2−4F

​​。

总结一下，利用圆的标准方程求半径时，如果方程为(x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，半径r=r2r = \sqrt{r^2}

​；如果是一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，半径r=D2+E2−4F2r = \frac{\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}

​​ 。

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