对lnax(其中a为常数)求导应该得出什么呢?为什么? - 早教 - 育儿知识大全

对lnax(其中a为常数)求导应该得出什么呢?为什么?

更新时间:2026-08-18 18:31:24 栏目: 早教

方法一：利用对数运算法则化简后求导

首先，根据对数运算法则 $\ln(ax)=\ln a+\ln x$ （ $a\gt0,x\gt0$ ）。

然后对 $y = \ln(ax)$ 求导，因为 $\ln a$ 是常数，常数的导数为 $0$ ，而 $(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$ 。

所以 $y^\prime = (\ln a+\ln x)^\prime = (\ln a)^\prime+(\ln x)^\prime = 0+\frac{1}{x}=\frac{1}{x}$ 。

方法二：利用复合函数求导法则求导

令 $u = ax$ ，则 $y=\ln u$ 。

根据复合函数求导法则，若 $y = f(g(x))$ ，则 $y^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)$ 。

对于 $y = \ln u$ ，其导数 $y^\prime_{u}=\frac{1}{u}$ ；对于 $u = ax$ ，其导数 $u^\prime_{x}=a$ 。

那么 $y^\prime = y^\prime_{u}\cdot u^\prime_{x}$ ，将 $y^\prime_{u}=\frac{1}{u}$ ， $u^\prime_{x}=a$ 代入可得： $y^\prime=\frac{1}{u}\cdot a$ 。

再把 $u = ax$ 代回，得到 $y^\prime=\frac{a}{ax}=\frac{1}{x}$ 。

综上， $(\ln(ax))^\prime=\frac{1}{x}$ 。

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