向量相乘分为数量积（点积）和向量积（叉积）两种情况，以下分别介绍：

向量的数量积（点积）

定义：已知两个非零向量 $\vec{a}$

与 $\vec{b}$

，它们的夹角为 $\theta$（$0\leqslant\theta\leqslant\pi$），那么 $\vec{a}$

与 $\vec{b}$

的数量积（点积）是一个数量，记作 $\vec{a}\cdot\vec{b}$

⋅b

，且 $\vec{a}\cdot\vec{b} = \vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos\theta$

⋅b

=∣a

∣∣b

∣cosθ，其中 $\vert\vec{a}\vert$

∣ 和 $\vert\vec{b}\vert$

∣ 分别表示向量 $\vec{a}$

和 $\vec{b}$

的模（长度）。零向量与任意向量的数量积为 $0$。

几何意义：$\vec{a}\cdot\vec{b}$

⋅b

等于 $\vec{a}$

的长度 $\vert\vec{a}\vert$

∣ 与 $\vec{b}$

在 $\vec{a}$

方向上的投影 $\vert\vec{b}\vert\cos\theta$

∣cosθ 的乘积。

坐标运算：若 $\vec{a}=(x_1,y_1)$

=(x1​,y1​)，$\vec{b}=(x_2,y_2)$

=(x2​,y2​)，则 $\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2 + y_1y_2$

⋅b

=x1​x2​+y1​y2​。

例如，已知 $\vec{a}=(2,3)$

=(2,3)，$\vec{b}=(4, - 1)$

=(4,−1)，则 $\vec{a}\cdot\vec{b}=2×4 + 3×(-1)=8 - 3 = 5$

⋅b

=2×4+3×(−1)=8−3=5。

向量的向量积（叉积）

定义：对于两个向量 $\vec{a}$

和 $\vec{b}$

，它们的向量积（叉积）是一个向量，记作 $\vec{a}\times\vec{b}$

×b

。$\vec{a}\times\vec{b}$

×b

的模是 $\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\sin\theta$

×b

∣=∣a

∣∣b

∣sinθ，其中 $\theta$ 为 $\vec{a}$

与 $\vec{b}$

的夹角（$0\leqslant\theta\leqslant\pi$）；$\vec{a}\times\vec{b}$

×b

的方向垂直于 $\vec{a}$

与 $\vec{b}$

所决定的平面，且 $\vec{a}$

，$\vec{b}$

，$\vec{a}\times\vec{b}$

×b

符合右手定则（右手四指从 $\vec{a}$

以不超过 $\pi$ 的角度转向 $\vec{b}$

时，大拇指的指向就是 $\vec{a}\times\vec{b}$

×b

的方向）。

几何意义：$\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert$

×b

∣ 的值等于以 $\vec{a}$

和 $\vec{b}$

为邻边的平行四边形的面积。

坐标运算：在三维空间中，设 $\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$

=(x1​,y1​,z1​)，$\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)$

=(x2​,y2​,z2​)，则 $\vec{a}\times\vec{b}=(y_1z_2 - y_2z_1,z_1x_2 - z_2x_1,x_1y_2 - x_2y_1)$

×b

=(y1​z2​−y2​z1​,z1​x2​−z2​x1​,x1​y2​−x2​y1​) 。

例如，$\vec{a}=(1,2,3)$

=(1,2,3)，$\vec{b}=(4,5,6)$

=(4,5,6)，则

$$\begin{align*} \vec{a}\times\vec{b}&=(2×6 - 5×3,3×4 - 6×1,1×5 - 4×2)\\ &=(12 - 15,12 - 6,5 - 8)\\ &=(-3,6,-3) \end{align*}$$

×b

​=(2×6−5×3,3×4−6×1,1×5−4×2)=(12−15,12−6,5−8)=(−3,6,−3)​

需要注意的是，向量积只定义在三维空间中，二维向量不存在向量积运算。