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三角形外接圆半径怎么求

更新时间:2026-08-18 14:37:49   栏目: 早教

求三角形外接圆半径有多种方法，以下为你详细介绍：

已知三角形三边

若已知三角形三边长度分别为aa、bb、cc ，可先根据海伦公式求出三角形面积SS，再利用公式R=abc4SR = \frac{abc}{4S}求出外接圆半径RR。

海伦公式求三角形面积：

首先计算半周长s=a+b+c2s = \frac{a + b + c}{2}。

然后根据海伦公式S=s(s−a)(s−b)(s−c)S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}

​得出三角形面积SS。

例如，对于三边分别为33、44、55的直角三角形，半周长s=3+4+52=6s = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6，其面积S=6×(6−3)×(6−4)×(6−5)=6×3×2×1=6S = \sqrt{6×(6 - 3)×(6 - 4)×(6 - 5)} = \sqrt{6×3×2×1} = 6

​=6×3×2×1

​=6 。

 

计算外接圆半径：

将aa、bb、cc以及求出的SS代入公式R=abc4SR = \frac{abc}{4S} 。

对于上述三边为33、44、55的三角形，R=3×4×54×6=52R = \frac{3×4×5}{4×6} = \frac{5}{2} 。

 

已知三角形的一边和这边所对的角

若已知三角形的一边长为aa ，这边所对的角为AA ，则外接圆半径RR的计算公式为R=a2sin⁡AR = \frac{a}{2\sin A} 。

例如，在△ABC\triangle ABC中，已知a=6a = 6 ，∠A=60∘\angle A = 60^{\circ} ，因为sin⁡A=sin⁡60∘=32\sin A = \sin60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}

​​ ，根据公式可得R=62×32=23R = \frac{6}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{3}

​​6​=23

​ 。

直角三角形求外接圆半径

对于直角三角形，其外接圆半径RR等于斜边的一半。

设直角三角形的两条直角边分别为aa、bb ，斜边为cc ，根据勾股定理c=a2+b2c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

​ ，则外接圆半径R=c2R = \frac{c}{2} 。

例如，直角三角形两直角边分别为66和88 ，根据勾股定理斜边c=62+82=10c = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10

​=10 ，那么外接圆半径R=102=5R = \frac{10}{2} = 5 。

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