向量相乘分为两种情况：数量积（点积）和向量积（叉积），下面分别介绍：

数量积（点积）

定义：已知两个非零向量 $\vec{a}$

与 $\vec{b}$

，它们的夹角为 $\theta$（$0\leqslant\theta\leqslant\pi$），那么 $\vec{a}$

与 $\vec{b}$

的数量积（点积）是一个数量，记作 $\vec{a}\cdot\vec{b}$

⋅b

，且 $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos\theta$

⋅b

=∣a

∣∣b

∣cosθ ，其中 $\vert\vec{a}\vert$

∣ 和 $\vert\vec{b}\vert$

∣ 分别表示向量 $\vec{a}$

和 $\vec{b}$

的模（长度）。

几何意义：$\vec{a}\cdot\vec{b}$

⋅b

等于 $\vec{a}$

的长度 $\vert\vec{a}\vert$

∣ 与 $\vec{b}$

在 $\vec{a}$

方向上的投影 $\vert\vec{b}\vert\cos\theta$

∣cosθ 的乘积。

坐标运算：若 $\vec{a}=(x_1,y_1)$

=(x1​,y1​) ，$\vec{b}=(x_2,y_2)$

=(x2​,y2​) ，则 $\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2 + y_1y_2$

⋅b

=x1​x2​+y1​y2​ 。

例如，已知 $\vec{a}=(2,3)$

=(2,3) ，$\vec{b}=(4, - 1)$

=(4,−1) ，则 $\vec{a}\cdot\vec{b}=2×4 + 3×(-1)=8 - 3 = 5$

⋅b

=2×4+3×(−1)=8−3=5 。

向量积（叉积）

定义：对于两个向量 $\vec{a}$

和 $\vec{b}$

，它们的向量积（叉积）是一个向量，记作 $\vec{a}\times\vec{b}$

×b

。其模长为 $\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\sin\theta$

×b

∣=∣a

∣∣b

∣sinθ ，其中 $\theta$ 为 $\vec{a}$

与 $\vec{b}$

的夹角（$0\leqslant\theta\leqslant\pi$），方向垂直于 $\vec{a}$

与 $\vec{b}$

所确定的平面，并且 $\vec{a}$

，$\vec{b}$

，$\vec{a}\times\vec{b}$

×b

构成右手系（即伸出右手，四指从 $\vec{a}$

指向 $\vec{b}$

，大拇指的方向就是 $\vec{a}\times\vec{b}$

×b

的方向）。

几何意义：$\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert$

×b

∣ 的值等于以 $\vec{a}$

和 $\vec{b}$

为邻边的平行四边形的面积。

坐标运算：在三维空间中，若 $\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$

=(x1​,y1​,z1​) ，$\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)$

=(x2​,y2​,z2​) ，则

$$\vec{a}\times\vec{b}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2 \end{array}\right|$$

×b

=

​i

x1​x2​​j

​y1​y2​​k

z1​z2​​

​

$\stackrel{\times b}{}$

$\stackrel{=(y1z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y1)\; 。}{}$