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sin的平方 cos的平方=?

更新时间:2026-08-18 13:25:21   栏目: 早教

根据三角函数的基本关系可知：sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1。

下面为你提供一种常见的证明方法：
在平面直角坐标系中，设角α\alpha终边上一点PP的坐标为(x,y)(x,y)，点PP到原点OO的距离为rr，则根据勾股定理可得r=x2+y2r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

​。

根据正弦函数和余弦函数的定义：
sin⁡α=yr\sin\alpha = \frac{y}{r}，cos⁡α=xr\cos\alpha = \frac{x}{r}。

那么sin⁡2α+cos⁡2α=(yr)2+(xr)2=y2r2+x2r2=x2+y2r2\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = (\frac{y}{r})^{2} + (\frac{x}{r})^{2} = \frac{y^{2}}{r^{2}} + \frac{x^{2}}{r^{2}} = \frac{x^{2} + y^{2}}{r^{2}}。

又因为r=x2+y2r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

​，所以r2=x2+y2r^{2} = x^{2} + y^{2}，则x2+y2r2=1\frac{x^{2} + y^{2}}{r^{2}} = 1，即sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1 。

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