求异面直线间的距离,点到面的距离的公式.谢谢 - 早教 - 育儿知识大全

求异面直线间的距离,点到面的距离的公式.谢谢

更新时间:2026-08-18 13:26:15 栏目: 早教

异面直线间的距离公式

设两条异面直线 $l_1$ ， $l_2$ 的方向向量分别为 $\vec{v_1}$

， $\vec{v_2}$

，且分别过点 $A$ ， $B$ 。

向量法

先求与两异面直线都垂直的向量 $\vec{n}$

，即 $\vec{n}$

满足 $\vec{n}\cdot\vec{v_1} = 0$

⋅v1

=0且 $\vec{n}\cdot\vec{v_2} = 0$

⋅v2

=0。可通过设 $\vec{n}=(x,y,z)$

=(x,y,z)，结合 $\vec{v_1}=(x_1,y_1,z_1)$

=(x1,y1,z1)， $\vec{v_2}=(x_2,y_2,z_2)$

=(x2,y2,z2)，根据向量点积运算列出方程组 $\begin{cases}x_1x + y_1y+z_1z = 0\\x_2x + y_2y+z_2z = 0\end{cases}$ 求解得到 $\vec{n}$

（一般取一个特殊解）。

异面直线 $l_1$ 与 $l_2$ 间的距离 $d=\frac{\vert\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}\vert}{\vert\vec{n}\vert}$

∣∣n

⋅AB

∣ ，其中 $\overrightarrow{AB}$

是连接两条异面直线上任意两点的向量。

公垂线段法（几何法）

找出或作出异面直线的公垂线段（这是比较困难的，需要较强的空间想象力和几何推理能力）。

求出公垂线段的长度，即为异面直线间的距离。

点到平面的距离公式

设点 $P(x_0,y_0,z_0)$ ，平面 $\alpha$ 的方程为 $Ax + By + Cz + D = 0$ （ $A$ 、 $B$ 、 $C$ 不同时为 $0$ ）。
点 $P$ 到平面 $\alpha$ 的距离 $d=\frac{\vert Ax_0 + By_0 + Cz_0+D\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$

∣Ax0+By0+Cz0+D∣ 。

这个公式的推导基于向量投影的原理。平面的法向量 $\vec{n}=(A,B,C)$

=(A,B,C) ，在平面上任取一点 $Q(x_1,y_1,z_1)$ ，则向量 $\overrightarrow{PQ}=(x_1 - x_0,y_1 - y_0,z_1 - z_0)$

=(x1−x0,y1−y0,z1−z0) ，点 $P$ 到平面的距离就是 $\overrightarrow{PQ}$

在法向量 $\vec{n}$

方向上投影的绝对值。

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