圆的内接四边形有哪些性质?为什么? - 早教 - 育儿知识大全

圆的内接四边形有哪些性质?为什么?

更新时间:2026-08-18 12:27:17 栏目: 早教

圆的内接四边形具有以下重要性质：

性质一：对角互补

即圆内接四边形的任意一组对角之和为 $180^{\circ}$ 。若四边形 $ABCD$ 内接于圆 $O$ ，则 $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ ， $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$ 。

证明思路：

以 $\angle A$ 和 $\angle C$ 为例，连接 $OB$ 、 $OD$ 。

圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半。 $\angle A$ 所对的弧是 $\overset{\frown}{BCD}$ ，设弧 $\overset{\frown}{BCD}$ 所对的圆心角为 $\angle BOD$ ，那么 $\angle A=\frac{1}{2}\angle BOD$ （圆周角定理）。

$\angle C$ 所对的弧是 $\overset{\frown}{BAD}$ ，弧 $\overset{\frown}{BAD}$ 所对的圆心角设为 $\angle BOD'$ ，且 $\angle BOD + \angle BOD' = 360^{\circ}$ （周角定义）， $\angle C=\frac{1}{2}\angle BOD'$ 。

所以 $\angle A+\angle C=\frac{1}{2}(\angle BOD + \angle BOD')=\frac{1}{2}\times360^{\circ}=180^{\circ}$ 。同理可证 $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$ 。

性质二：外角等于它的内对角

圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。比如四边形 $ABCD$ 内接于圆 $O$ ，延长 $AB$ 到 $E$ ，则 $\angle CBE=\angle ADC$ 。

证明思路：

因为 $\angle ABC + \angle CBE = 180^{\circ}$ （邻补角定义）。

又因为四边形 $ABCD$ 是圆内接四边形，根据对角互补性质可知 $\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}$ 。

所以 $\angle CBE=\angle ADC$ 。

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