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正多边形的外角和

更新时间:2026-08-18 11:25:20   栏目: 早教

任意正多边形的外角和都为360∘360^{\circ}。

下面为你推导这个结论：
设正nn边形的每个外角的度数为x1,x2,⋯ ,xnx_1,x_2,\cdots,x_n。

因为多边形的一个内角与它相邻的外角互补，即相加等于180∘180^{\circ} 。

对于正nn边形，其内角和公式为(n−2)×180∘(n - 2)\times180^{\circ}，那么每个内角的度数为(n−2)×180∘n\frac{(n - 2)\times180^{\circ}}{n} ，所以每个外角的度数xi=180∘−(n−2)×180∘nx_i = 180^{\circ}-\frac{(n - 2)\times180^{\circ}}{n}（i=1,2,⋯ ,ni = 1,2,\cdots,n）。

化简xix_i可得：

xi=180∘−(n−2)×180∘n=180∘n−(n−2)×180∘n=180∘n−180∘n+360∘n=360∘n\begin{align*} x_i&= 180^{\circ}-\frac{(n - 2)\times180^{\circ}}{n}\\ &=\frac{180^{\circ}n - (n - 2)\times180^{\circ}}{n}\\ &=\frac{180^{\circ}n - 180^{\circ}n + 360^{\circ}}{n}\\ &=\frac{360^{\circ}}{n} \end{align*}

则正nn边形外角和S=x1+x2+⋯+xn=n×360∘n=360∘S = x_1 + x_2+\cdots + x_n = n\times\frac{360^{\circ}}{n}=360^{\circ} 。

所以，不管是正三角形、正四边形还是其他任意正多边形，其外角和恒为360∘360^{\circ} 。

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