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过圆上的切线方程公式

更新时间:2026-08-17 09:15:39   栏目: 早教

已知圆的标准方程及圆上一点求切线方程

设圆的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2+(y - b)^2 = r^2，点P(x0,y0)P(x_0,y_0)是圆上一点。

则过点PP的切线方程为(x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=r2(x_0 - a)(x - a)+(y_0 - b)(y - b)=r^2。

推导思路：圆心坐标为C(a,b)C(a,b)，那么直线CPCP的斜率kCP=y0−bx0−ak_{CP}=\frac{y_0 - b}{x_0 - a}（当x0≠ax_0\neq a时）。因为切线与过切点的半径垂直，所以切线的斜率kk与kCPk_{CP}的乘积为−1- 1，可得切线斜率k=−x0−ay0−bk =-\frac{x_0 - a}{y_0 - b}（当y0≠by_0\neq b时）。由点斜式y−y0=k(x−x0)y - y_0 = k(x - x_0)可得切线方程y−y0=−x0−ay0−b(x−x0)y - y_0 =-\frac{x_0 - a}{y_0 - b}(x - x_0)，整理后即为(x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=r2(x_0 - a)(x - a)+(y_0 - b)(y - b)=r^2。当x0=ax_0 = a时，切线方程为y=y0y = y_0；当y0=by_0 = b时，切线方程为x=x0x = x_0，该公式依然适用。

 

已知圆的一般方程及圆上一点求切线方程

设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0x^{2}+y^{2}+Dx + Ey+F = 0（D2+E2−4F>0D^{2}+E^{2}-4F>0），点P(x0,y0)P(x_0,y_0)在圆上。

则过点PP的切线方程为x0x+y0y+D⋅x+x02+E⋅y+y02+F=0x_0x + y_0y + D\cdot\frac{x + x_0}{2}+E\cdot\frac{y + y_0}{2}+F = 0。

推导思路：将圆的一般方程配方化为标准方程，再利用上述标准方程情况下的切线方程推导方法，经过一系列化简运算可以得到此公式。本质上还是基于切线与过切点的半径垂直这一几何性质，结合直线方程的相关知识得出。

 

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