和立方公式和差立方公式是什么? - 早教 - 育儿知识大全

和立方公式和差立方公式是什么?

更新时间:2026-08-17 08:33:29 栏目: 早教

和立方公式与差立方公式属于整式乘法中的重要公式，具体如下：

和立方公式： $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

推导过程：

$(a + b)^3=(a + b)(a + b)^2$

先计算 $(a + b)^2$ ，根据完全平方公式 $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 。

则 $(a + b)^3=(a + b)(a^2 + 2ab + b^2)$

利用多项式乘法法则展开得：

$a(a^2 + 2ab + b^2)+b(a^2 + 2ab + b^2)$

$=a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3$

合并同类项后得到 $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ 。

差立方公式： $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

推导过程：

$(a - b)^3=(a - b)(a - b)^2$

由完全平方公式可知 $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ 。

那么 $(a - b)^3=(a - b)(a^2 - 2ab + b^2)$

展开式子：

$a(a^2 - 2ab + b^2)-b(a^2 - 2ab + b^2)$

$=a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3$

经过合并同类项得到 $a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ 。

这两个公式在代数式化简、因式分解以及方程求解等数学问题中经常会用到。例如，化简 $(2x + 3)^3$ ，就可以直接根据和立方公式，将 $a = 2x$ ， $b = 3$ 代入，得到 $(2x)^3 + 3\times(2x)^2\times3 + 3\times(2x)\times3^2 + 3^3 = 8x^3 + 36x^2 + 54x + 27$ 。

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