圆锥体积公式,推导过程 - 早教 - 育儿知识大全

圆锥体积公式,推导过程

更新时间:2026-08-17 08:21:39 栏目: 早教

圆锥体积公式为 $V = \frac{1}{3}Sh$ （ $S$ 是圆锥的底面积， $h$ 是圆锥的高），下面为你介绍几种常见的推导过程：

实验法

准备一个空心圆锥和一个与圆锥等底等高的空心圆柱，还有足够的沙子。

将圆锥装满沙子，然后倒入圆柱中。可以发现，倒三次正好可以将圆柱装满。

这表明，在等底等高的情况下，圆锥的体积是圆柱体积的 $\frac{1}{3}$ 。

因为圆柱体积公式为 $V_{圆柱}=Sh$ （ $S$ 为底面积， $h$ 为高），所以与它等底等高的圆锥体积 $V_{圆锥}=\frac{1}{3}Sh$ 。

积分法（适合有微积分基础的情况）

建立圆锥的数学模型：

设圆锥的高为 $h$ ，底面半径为 $r$ 。把圆锥放在直角坐标系中，圆锥的顶点位于原点 $(0,0)$ ，圆锥的轴与 $y$ 轴重合，底面平行于 $xOz$ 平面，且底面圆心在 $y$ 轴上的 $y = h$ 处。

圆锥的母线方程可以通过相似三角形得到。对于圆锥上任意一点 $(x,y)$ ，由相似三角形关系可知 $\frac{x}{y}=\frac{r}{h}$ ，即 $x=\frac{r}{h}y$ 。

用积分求体积：

考虑用垂直于 $y$ 轴的平面去截圆锥，得到一系列半径不同的圆。在 $y$ 处，截面圆的半径为 $x=\frac{r}{h}y$ ，根据圆的面积公式，该截面圆的面积 $S(y)=\pi x^{2}=\pi(\frac{r}{h}y)^{2}$ 。

圆锥的体积可以看作是这些无穷多个薄片（厚度为 $dy$ ）的体积之和，从 $y = 0$ 到 $y = h$ 进行积分。根据定积分的体积公式 $V=\int_{a}^{b}S(y)dy$ ，这里 $a = 0$ ， $b = h$ 。

则圆锥体积 $V=\int_{0}^{h}\pi(\frac{r}{h}y)^{2}dy$ 。

先对 $\pi(\frac{r}{h}y)^{2}$ 化简为 $\frac{\pi r^{2}}{h^{2}}y^{2}$ 。

再对 $\frac{\pi r^{2}}{h^{2}}y^{2}$ 进行积分，根据积分公式 $\int x^{n}dx=\frac{1}{n + 1}x^{n+1}+C$ （ $n\neq - 1$ ），可得 $\int_{0}^{h}\frac{\pi r^{2}}{h^{2}}y^{2}dy=\frac{\pi r^{2}}{h^{2}}\cdot\frac{1}{3}y^{3}\big|_{0}^{h}$

0h。

计算 $\frac{\pi r^{2}}{h^{2}}\cdot\frac{1}{3}y^{3}\big|_{0}^{h}=\frac{\pi r^{2}}{h^{2}}\cdot\frac{1}{3}(h^{3}-0^{3})=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

0h=h2πr2⋅31(h3−03)=31πr2h。

因为 $\pi r^{2}$ 就是圆锥的底面积 $S$ ，所以圆锥体积 $V = \frac{1}{3}Sh$ 。

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