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一元二次求根公式法是什么

更新时间:2026-08-17 06:26:02   栏目: 早教

对于一元二次方程 ax2+bx+c=0ax^{2}+bx + c = 0（a≠0a\neq0），其求根公式为：

x=−b±b2−4ac2ax=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

​​

推导过程如下：

对于一元二次方程 ax2+bx+c=0ax^{2}+bx + c = 0（a≠0a\neq0），首先将方程两边同时除以 aa，得到x2+bax+ca=0x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0。

移项可得x2+bax=−cax^{2}+\frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} 。

配方：在等式两边加上一次项系数一半的平方，即(b2a)2(\frac{b}{2a})^{2}，得到：

x2+bax+(b2a)2=(b2a)2−cax^{2}+\frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^{2}=(\frac{b}{2a})^{2}-\frac{c}{a}。

根据完全平方公式(m+n)2=m2+2mn+n2(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2，这里m=xm = x，n=b2an=\frac{b}{2a}，则左边可化为(x+b2a)2(x + \frac{b}{2a})^{2}。

右边通分计算：(b2a)2−ca=b24a2−4ac4a2=b2−4ac4a2(\frac{b}{2a})^{2}-\frac{c}{a}=\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{4ac}{4a^{2}}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}。

此时方程变为(x+b2a)2=b2−4ac4a2(x + \frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}。

 

开平方：

当b2−4ac⩾0b^{2}-4ac\geqslant0时，x+b2a=±b2−4ac4a2=±b2−4ac2ax + \frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}=\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

​=±2ab2−4ac

​​。

然后移项可得x=−b±b2−4ac2ax=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

​​。

 

在使用求根公式时，先确定aa、bb、cc的值，再计算判别式Δ=b2−4ac\Delta = b^{2}-4ac的值：

若Δ>0\Delta>0，方程有两个不相等的实数根；

若Δ=0\Delta = 0，方程有两个相等的实数根；

若Δ<0\Delta<0，方程没有实数根 。

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