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求根公式如何推导?

更新时间:2026-08-17 05:14:26   栏目: 早教

一元二次方程的求根公式推导过程如下：

对于一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0（a≠0a\neq0）

 

移项：
将常数项cc移到方程右边，得到ax2+bx=−cax^2 + bx = -c

 

 

二次项系数化为11：
方程两边同时除以aa，得到x2+bax=−cax^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}

 

 

配方：
在方程左边加上一次项系数一半的平方，即(b2a)2(\frac{b}{2a})^2，同时在方程右边也加上(b2a)2(\frac{b}{2a})^2，以保持等式平衡。

 

x2+bax+(b2a)2=(b2a)2−ca(x+b2a)2=b24a2−ca\begin{align*} x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2&= (\frac{b}{2a})^2 - \frac{c}{a}\\ (x + \frac{b}{2a})^2&=\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} \end{align*}

 

通分右边式子：
对右边进行通分，b24a2−ca=b24a2−4ac4a2=b2−4ac4a2\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{4ac}{4a^2} = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}
此时方程变为(x+b2a)2=b2−4ac4a2(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}

 

 

开方求解：
当b2−4ac≥0b^2 - 4ac \geq 0时，方程两边同时开平方可得：
x+b2a=±b2−4ac4a2=±b2−4ac2ax + \frac{b}{2a} = \pm\sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} = \pm\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

​=±2ab2−4ac

​​

 

 

求出xx的值：
最后将b2a\frac{b}{2a}移到右边，得到求根公式：
x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

​​

 

当b2−4ac<0b^2 - 4ac < 0时，在实数范围内，因为负数不能开平方，所以方程无实数根；但在复数范围内，方程有两个复数根，同样由上述求根公式计算，只是根号下负数时按照复数运算法则处理 。

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