动能计算公式推导与分析

动能定义：物体由于运动而具有的能量叫做动能。

推导过程

设质量为 $m$ 的物体，在恒定外力 $F$ 的作用下，沿直线做匀加速直线运动，经过位移 $s$ 后速度由 $v_{0}$ 变为 $v_{t}$ 。

根据牛顿第二定律 $F = ma$（其中 $a$ 为加速度）。

再根据匀变速直线运动的速度 - 位移公式 $v_{t}^{2}-v_{0}^{2} = 2as$，可得 $s=\frac{v_{t}^{2}-v_{0}^{2}}{2a}$ 。

外力 $F$ 对物体做功 $W = Fs$ ，把 $F = ma$ 和 $s=\frac{v_{t}^{2}-v_{0}^{2}}{2a}$ 代入可得：

$W = ma\times\frac{v_{t}^{2}-v_{0}^{2}}{2a}=\frac{1}{2}mv_{t}^{2}-\frac{1}{2}mv_{0}^{2}$

外力对物体做的功等于物体动能的变化量。当物体的初速度 $v_{0}=0$ 时，外力对物体做的功就等于物体最终获得的动能 $E_{k}$ ，所以动能的表达式为 $E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}$ ，其中 $m$ 是物体的质量， $v$ 是物体的速度。

分析

从公式 $E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}$ 可以看出，动能与物体的质量和速度的平方成正比。质量越大、速度越大，物体的动能就越大。例如，一辆高速行驶的汽车比一辆低速行驶的相同质量的汽车动能大；同样速度下，大货车比小汽车质量大，所以大货车动能更大 。

重力势能计算公式推导与分析

重力势能定义：物体由于被举高而具有的能叫做重力势能。

推导过程

设质量为 $m$ 的物体，在重力 $G = mg$（$g$ 为重力加速度）的作用下，从高度 $h_{1}$ 处竖直下落到高度 $h_{2}$ 处（$h_{1}>h_{2}$ ），重力做的功 $W_{G}$ 为：

$W_{G}=G\Delta h = mg(h_{1} - h_{2})=mgh_{1}-mgh_{2}$

重力做的功等于重力势能的减少量，即 $W_{G}=E_{p1}-E_{p2}$ （$E_{p1}$ 是物体在高度 $h_{1}$ 处的重力势能， $E_{p2}$ 是物体在高度 $h_{2}$ 处的重力势能）。

通常规定物体在参考平面（零势能面）上的重力势能为零。当选取地面为参考平面时，如果物体在高度 $h$ 处，那么物体的重力势能 $E_{p}=mgh$ ，其中 $m$ 是物体的质量， $g$ 是重力加速度， $h$ 是物体相对于参考平面的高度。

分析

由公式 $E_{p}=mgh$ 可知，重力势能与物体的质量、重力加速度以及物体相对于参考平面的高度有关。质量越大、离参考平面的高度越高，物体的重力势能就越大。比如，同样一块石头，放在高楼顶端比放在地面上重力势能大；在同一高度，大石头比小石头重力势能大。而且重力势能是相对的，其大小取决于所选的参考平面，选择不同的参考平面，物体在同一位置的重力势能数值不同。

弹性势能计算公式推导（中学阶段不要求严格推导，简单说明如下）与分析

弹性势能定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫做弹性势能。

推导思路（大学物理采用积分推导）：弹簧的弹力 $F = kx$（$k$ 为劲度系数， $x$ 为弹簧的形变量），弹力是变力。计算将弹簧从原长拉伸或压缩 $x$ 过程中弹力做的功，需要用到积分知识，积分结果得出弹性势能公式 $E_{p}=\frac{1}{2}kx^{2}$ 。

分析

从公式 $E_{p}=\frac{1}{2}kx^{2}$ 可知，弹性势能与弹簧的劲度系数 $k$ 和弹簧的形变量 $x$ 的平方有关。劲度系数越大、形变量越大，弹簧的弹性势能就越大。例如，同样形变量下，劲度系数大的弹簧比劲度系数小的弹簧弹性势能大；对于同一个弹簧，拉伸或压缩的长度越大，弹性势能越大 。