作差法、作商法和倒数比较法是比较两个数或两个代数式大小的常用方法，以下分别介绍这三种方法：

作差法

理论依据：
若$a - b > 0$，则$a > b$；若$a - b = 0$，则$a = b$；若$a - b < 0$，则$a < b$。

操作步骤：

作差：将需要比较大小的两个数或代数式相减，得到一个新的式子。

变形：对差式进行化简变形，目的是判断差式与$0$ 的大小关系。变形的方法通常有因式分解、配方、通分等。

定号：根据变形后的结果，判断差式的正负性。

结论：根据差式的正负得出两个数或代数式的大小关系。

示例：比较$x^2 + 3$与$3x$的大小。

作差：$(x^2 + 3) - 3x = x^2 - 3x + 3$。

变形：对$x^2 - 3x + 3$进行配方，$x^2 - 3x + 3 = x^2 - 3x + \frac{9}{4} + 3 - \frac{9}{4} = (x - \frac{3}{2})^2 + \frac{3}{4}$。

定号：因为任何数的平方都大于等于$0$，所以$(x - \frac{3}{2})^2 \geq 0$，那么$(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{3}{4} > 0$。

结论：所以$x^2 + 3 > 3x$。

作商法

理论依据：
当$a > 0$，$b > 0$时，若$\frac{a}{b} > 1$，则$a > b$；若$\frac{a}{b} = 1$，则$a = b$；若$\frac{a}{b} < 1$，则$a < b$。
当$a < 0$，$b < 0$时，若$\frac{a}{b} > 1$，则$a < b$；若$\frac{a}{b} = 1$，则$a = b$；若$\frac{a}{b} < 1$，则$a > b$。

操作步骤：

作商：将两个正数或两个负数相除，得到商式。

变形：对商式进行化简，以便判断其与$1$ 的大小关系。

定号：判断商式与$1$ 的大小关系。

结论：根据商式与$1$ 的大小关系以及两个数的正负性，得出两个数的大小关系。

示例：比较$a^a b^b$与$a^b b^a$（$a > 0$，$b > 0$）的大小。

作商：$\frac{a^a b^b}{a^b b^a} = a^{a - b}b^{b - a} = (\frac{a}{b})^{a - b}$。

分类讨论定号：

当$a > b > 0$时，$\frac{a}{b} > 1$，$a - b > 0$，则$(\frac{a}{b})^{a - b} > 1$。

当$a = b > 0$时，$(\frac{a}{b})^{a - b} = 1$。

当$b > a > 0$时，$0 < \frac{a}{b} < 1$，$a - b < 0$，则$(\frac{a}{b})^{a - b} > 1$。

结论：综上，当$a > 0$，$b > 0$时，$a^a b^b \geq a^b b^a$，当且仅当$a = b$时取等号。

倒数比较法

理论依据：
对于两个正实数$a$和$b$，如果$\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$，那么$a < b$；如果$\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$，那么$a > b$ 。对于两个负实数$a$和$b$，如果$\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$，那么$a > b$；如果$\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$，那么$a < b$。

操作步骤：

求倒数：分别求出两个数的倒数。

比较倒数大小：利用已有的知识和方法比较两个倒数的大小。

得出原数大小关系：根据倒数大小关系，反推原数的大小关系。

示例：比较$\sqrt{11} - \sqrt{10}$

​−10

​与$\sqrt{12} - \sqrt{11}$

​−11

​的大小。

求倒数：
\(\frac{1}{\sqrt{11} - \sqrt{10}} =