x的x次方求导 - 早教 - 育儿知识大全

x的x次方求导

更新时间:2026-08-16 01:10:05 栏目: 早教

要求 $y = x^x$ 的导数，可以先对等式两边取自然对数，然后再利用隐函数求导法则进行求导。

对 $y = x^x$ 两边取自然对数

对 $y = x^x$ 两边取自然对数 $\ln$ ，得到 $\ln y = \ln(x^x)$ 。

根据对数运算法则 $\ln a^b = b\ln a$ ，所以 $\ln(x^x)=x\ln x$ ，即 $\ln y = x\ln x$ 。

对 $\ln y = x\ln x$ 两边求导

左边对 $\ln y$ 关于 $x$ 求导，根据复合函数求导法则， $(\ln y)^\prime=\frac{1}{y}\cdot y^\prime$ 。

右边对 $x\ln x$ 关于 $x$ 求导，根据乘积的求导法则 $(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$ ，这里 $u = x$ ， $v=\ln x$ 。

$u^\prime=(x)^\prime = 1$ ， $v^\prime = (\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$ 。

那么 $(x\ln x)^\prime = 1\times\ln x + x\times\frac{1}{x}=\ln x + 1$ 。

求出 $y^\prime$

由 $\frac{1}{y}\cdot y^\prime=\ln x + 1$ ，可得 $y^\prime = y(\ln x + 1)$ 。

因为 $y = x^x$ ，所以将 $y = x^x$ 代回上式，得到 $y^\prime = x^x(\ln x + 1)$ 。

综上， $y = x^x$ 的导数为 $x^x(1 + \ln x)$ 。

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