二次方程求根公式 - 早教 - 育儿知识大全

二次方程求根公式

更新时间:2026-08-14 19:16:46 栏目: 早教

对于一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0$ （ $a\neq0$ ），它的求根公式为：

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$

其中， $a$ 是二次项系数， $b$ 是一次项系数， $c$ 是常数项， $\Delta = b^{2} - 4ac$ 称为判别式。判别式的值决定了一元二次方程根的情况：

当 $\Delta \gt 0$ 时，方程有两个不相等的实数根；

当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实数根，此时求根公式变为 $x = -\frac{b}{2a}$ ；

当 $\Delta \lt 0$ 时，方程没有实数根，但在复数范围内有两个共轭复数根。

这个求根公式的推导过程如下：

对于一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0$ （ $a\neq0$ ），首先将方程两边同时除以 $a$ ，得到 $x^{2}+\frac{b}{a}x + \frac{c}{a}=0$ 。

然后通过配方，在等式左边加上一次项系数一半的平方，即 $(\frac{b}{2a})^{2}$ ，同时在等式右边也加上 $(\frac{b}{2a})^{2}$ ，可得：

$\begin{align*} x^{2}+\frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^{2}&= (\frac{b}{2a})^{2}-\frac{c}{a}\\ (x + \frac{b}{2a})^{2}&=\frac{b^{2}}{4a^{2}} - \frac{c}{a}\\ (x + \frac{b}{2a})^{2}&=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}} \end{align*}$

接下来对等式两边开平方：

$x + \frac{b}{2a} = \pm\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}} = \pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

=±2ab2−4ac

最后移项可得求根公式：

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$

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