二次函数的性质是什么? - 早教 - 育儿知识大全

二次函数的性质是什么?

更新时间:2026-08-14 19:18:00 栏目: 早教

二次函数的一般式为 $y = ax^{2} + bx + c$ （ $a\neq0$ ），它有以下重要性质：

图象特征

形状：二次函数的图象是一条抛物线。当 $a\gt0$ 时，抛物线开口向上；当 $a\lt0$ 时，抛物线开口向下。 $\vert a\vert$ 越大，抛物线的开口越窄； $\vert a\vert$ 越小，抛物线的开口越宽。

对称轴：抛物线的对称轴公式为 $x = -\frac{b}{2a}$ 。对称轴将抛物线分成两部分，这两部分关于对称轴对称。

顶点坐标：把 $x = -\frac{b}{2a}$ 代入二次函数 $y = ax^{2} + bx + c$ 中，可求得顶点的纵坐标为 $y = \frac{4ac - b^{2}}{4a}$ ，所以顶点坐标是 $(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^{2}}{4a})$ 。顶点是抛物线的最值点，当 $a\gt0$ 时，顶点是抛物线的最低点，函数在该点取得最小值；当 $a\lt0$ 时，顶点是抛物线的最高点，函数在该点取得最大值。

函数的增减性

当 $a\gt0$ 时：

在对称轴左侧，即 $x \lt -\frac{b}{2a}$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小；

在对称轴右侧，即 $x \gt -\frac{b}{2a}$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大。

当 $a\lt0$ 时：

在对称轴左侧，即 $x \lt -\frac{b}{2a}$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大；

在对称轴右侧，即 $x \gt -\frac{b}{2a}$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小。

与坐标轴的交点

与 $y$ 轴的交点：令 $x = 0$ ，代入二次函数 $y = ax^{2} + bx + c$ ，可得 $y = c$ ，所以二次函数与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0, c)$ 。

与 $x$ 轴的交点：令 $y = 0$ ，即 $ax^{2} + bx + c = 0$ ，根据一元二次方程 $ax^{2} + bx + c = 0$ 的判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac$ 的值来确定与 $x$ 轴交点的个数：

当 $\Delta \gt 0$ 时，方程 $ax^{2} + bx + c = 0$ 有两个不同的实数根，二次函数的图象与 $x$ 轴有两个交点；

当 $\Delta = 0$ 时，方程 $ax^{2} + bx + c = 0$ 有两个相同的实数根（即一个实数根），二次函数的图象与 $x$ 轴有一个交点；

当 $\Delta \lt 0$ 时，方程 $ax^{2} + bx + c = 0$ 没有实数根，二次函数的图象与 $x$ 轴没有交点。

函数值的特点

当 $x = 1$ 时， $y = a + b + c$ ；当 $x = -1$ 时， $y = a - b + c$ 。通过这两个特殊点的函数值，可以帮助分析和比较二次函数的一些性质。例如，比较 $a + b + c$ 与 $a - b + c$ 的大小，能判断 $b$ 的正负情况等。

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