正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等。

推导正四面体体积公式有多种方法，下面为你介绍常见的两种： 利用三棱锥体积通用公式推导 三棱锥体积通用公式为V = 1 3 S h V = \frac{1}{3}ShV=31​Sh（S SS是底面积，h hh是高）。

对于正四面体，设其棱长为a aa。

求底面积： 正四面体底面是正三角形，根据正三角形面积公式S = 3 4 a 2 S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2S=43​​a2（其中a aa为正三角形边长），所以正四面体底面积S = 3 4 a 2 S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2S=43​​a2。

求高： 先求底面正三角形的高h 1 h_1h1​，根据勾股定理可得h 1 = a 2 − ( a 2 ) 2 = 3 2 a h_1 = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}ah1​=a2−(2a​)2​=23​​a，那么底面正三角形中心到底面顶点的距离r = 2 3 h 1 = 2 3 × 3 2 a = 3 3 a r = \frac{2}{3}h_1 = \frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{3}ar=32​h1​=32​×23​​a=33​​a。

再求正四面体的高h hh，正四面体的高、侧棱与底面中心到底面顶点的连线构成直角三角形，根据勾股定理h = a 2 − ( 3 3 a ) 2 = 6 3 a h = \sqrt{a^2 - (\frac{\sqrt{3}}{3}a)^2} = \frac{\sqrt{6}}{3}ah=a2−(33​​a)2​=36​​a。

得出体积公式： 将底面积S = 3 4 a 2 S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2S=43​​a2和高h = 6 3 a h = \frac{\sqrt{6}}{3}ah=36​​a代入三棱锥体积公式V = 1 3 S h V = \frac{1}{3}ShV=31​Sh，可得正四面体体积V = 1 3 × 3 4 a 2 × 6 3 a = 2 12 a 3 V = \frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}a^2×\frac{\sqrt{6}}{3}a = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3V=31​×43​​a2×36​​a=122​​a3。

补形法推导 把正四面体补成一个正方体，设正四面体棱长为a aa。

确定正方体棱长与正四面体棱长的关系： 可以发现正方体面对角线长度等于正四面体的棱长a aa。

设正方体棱长为x xx，根据正方体面对角线长度公式2 x = a \sqrt{2}x = a2​x=a，则x = 2 2 a x = \frac{\sqrt{2}}{2}ax=22​​a。

求正方体体积： 根据正方体体积公式V 正方体 = x 3 V_{正方体}=x^3V正方体​=x3，将x = 2 2 a x = \frac{\sqrt{2}}{2}ax=22​​a代入可得V 正方体 = ( 2 2 a ) 3 = 2 4 a 3 V_{正方体}=(\frac{\sqrt{2}}{2}a)^3 = \frac{\sqrt{2}}{4}a^3V正方体​=(22​​a)3=42​​a3。

求正四面体体积： 观察可知正四面体体积是正方体体积减去四个相同的三棱锥体积。

每个三棱锥体积为1 6 V 正方体 \frac{1}{6}V_{正方体}61​V正方体​（因为三棱锥体积V = 1 3 S h V = \frac{1}{3}ShV=31​Sh，这里三棱锥底面积是正方体一个面面积的一半，高与正方体棱长相等）。

那么四个三棱锥体积之和为4 × 1 6 V 正方体 = 2 3 V 正方体 4×\frac{1}{6}V_{正方体}=\frac{2}{3}V_{正方体}4×61​V正方体​=32​V正方体​。

所以正四面体体积V = V 正方体 − 2 3 V 正方体 = 1 3 V 正方体 V = V_{正方体}-\frac{2}{3}V_{正方体}=\frac{1}{3}V_{正方体}V=V正方体​−32​V正方体​=31​V正方体​，把V 正方体 = 2 4 a 3 V_{正方体}= \frac{\sqrt{2}}{4}a^3V正方体​=42​​a3代入，可得V = 1 3 × 2 4 a 3 = 2 12 a 3 V = \frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{4}a^3 = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3V=31​×42​​a3=122​​a3 。

综上，若正四面体棱长为a aa，其体积公式为V = 2 12 a 3 V = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3V=122​​a3 。