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等腰梯形对角线的性质

更新时间:2026-08-09 01:42:07   栏目: 育儿综合

等腰梯形对角线具有以下重要性质： 对角线相等：这是等腰梯形对角线最显著的性质。

若四边形ABCD是等腰梯形，其中AD∥BC，AB = CD，则AC = BD。

通过全等三角形可以证明这一性质，比如过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，因为AD∥BC，DE∥AC，所以四边形ACED是平行四边形，则AC = DE，又因为等腰梯形两腰相等，可证△ABD≌△DCE，得出BD = DE，进而得到AC = BD 。

对角线分割的三角形特点 形成的两对面积相等的三角形：等腰梯形的两条对角线将梯形分割成四个三角形，其中以腰为边的两个三角形面积相等，以底边为边的两个三角形面积也相等。

即S△ABC = S△DCB，S△ABD = S△ACD 。

这是因为△ABC与△DCB同底（BC）等高（等腰梯形两底间的距离），根据三角形面积公式S = 1 2 a h S=\frac{1}{2}ahS=21​ah（a aa为底，h hh为高）可知它们面积相等；同理可证S△ABD = S△ACD 。

以底边为公共边的两个三角形相似：以等腰梯形底边为公共边的两个三角形相似。

在等腰梯形ABCD中，△AOB∽△DOC。

由于AD∥BC，可得∠OAD = ∠OCB，∠ODA = ∠OBC，根据两角对应相等的两个三角形相似，所以△AOB∽△DOC 。

对角线夹角与梯形关系：等腰梯形对角线的夹角相等或互补。

当两条对角线相交时，会形成两组对顶角，一组对顶角相等，另一组对顶角与这组对顶角互补。

例如在等腰梯形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠AOB = ∠DOC，∠AOD = ∠BOC，且∠AOB + ∠AOD = 180° 。

如果等腰梯形对角线互相垂直，此时梯形的高等于上下底和的一半。

设等腰梯形ABCD，AD∥BC，AC⊥BD，AC与BD相交于点O，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，因为AC⊥BD，DE∥AC，所以BD⊥DE，又因为AC = BD，AC = DE，所以△BDE是等腰直角三角形，梯形的高等于等腰直角三角形BDE斜边BE上的高，而BE = BC + AD，所以高等于1 2 ( A D + B C ) \frac{1}{2}(AD + BC)21​(AD+BC) 。

 

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