第一重要极限公式

更新时间:2026-08-09 00:08:09 栏目: 育儿综合

在高等数学中，第一个重要极限公式是： lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x x = 1 \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1limx→0xsinx=1 这个公式非常重要，具有广泛应用：证明其他极限：是推导一些三角函数相关极限的基础。

例如求lim ⁡ x → 0 tan ⁡ x x \lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x}limx→0xtanx，可将tan ⁡ x \tan xtanx写成sin ⁡ x cos ⁡ x \frac{\sin x}{\cos x}cosxsinx ，那么lim ⁡ x → 0 tan ⁡ x x = lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x x ⋅ 1 cos ⁡ x \lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}limx→0xtanx=limx→0xsinx⋅cosx1，因为lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x x = 1 \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1limx→0xsinx=1且lim ⁡ x → 0 cos ⁡ x = 1 \lim_{x \to 0}\cos x = 1limx→0cosx=1，所以lim ⁡ x → 0 tan ⁡ x x = 1 \lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x}=1limx→0xtanx=1 。

近似计算：当 x xx 趋近于 0 00 时，sin ⁡ x ≈ x \sin x\approx xsinx≈x。

在实际问题中，如果精度要求不是特别高，对于一些含有sin ⁡ x \sin xsinx且 x xx 取值接近 0 00 的式子，可以用 x xx 来替代sin ⁡ x \sin xsinx进行简化计算。

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